Sobre o conjunto h dos números reais, a relação:
n=(x, y) in R^2 mid x^2=y^2
é uma relação de equivalência?
Solução:
  1. Para todo x real, tem-se x^2=x^2, isto é, x h x : com isso é reflexiva.
  2. Se x^2=y^2 então y^2=x^2 ,isto é, x h y Rightarrow y h x : simétrica.
  3. Se x^2=y^2 e y^2=z^2 então x^2=z^2 ,isto é, ( x h y e y h z) Rightarrow x h z : é transitiva.
    Logo, h é relação de equivalência.

Passo 1

O enunciado define a relação h no conjunto dos reais por
h=l(x,y)inR^2mid x^2=y^2r
Estamos no tema de relações de equivalência. Para concluir que h é uma relação de equivalência em R, precisamos verificar três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade.

Passo 2

Verificação da reflexividade: uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Como para qualquer xinR vale
x^2 = x^2,
segue que (x,x)inh. Logo, h é reflexiva.

Passo 3

Verificação da simetria: uma relação é simétrica se, sempre que (x,y)inh, também (y,x)inh. Supondo (x,y)inh, temos x^2=y^2. Mas então trocando os papéis de x e y obtemos y^2=x^2, ou seja, (y,x)inh. Logo, h é simétrica.

Passo 4

Verificação da transitividade: uma relação é transitiva se, sempre que (x,y)inh e (y,z)inh, também (x,z)inh. Se (x,y)inh e (y,z)inh, então
x^2 = y^2 e y^2 = z^2 ;Longrightarrow; x^2 = z^2
Logo (x,z)inh e h é transitiva.

Resposta

Sim, h é uma relação de equivalência em R.

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