Sobre o conjunto
dos números reais, a relação:
é uma relação de equivalência?
Solução:
- Para todo
real, tem-se
, isto é,
: com isso é reflexiva.
- Se
então
,isto é,
: simétrica.
- Se
e
então
,isto é, (
e
)
: é transitiva.
Logo,
é relação de equivalência.
Logo,
Passo 1
O enunciado define a relação
no conjunto dos reais por
Estamos no tema de relações de equivalência. Para concluir que
é uma relação de equivalência em
, precisamos verificar três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade.
Passo 2
Verificação da reflexividade: uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Como para qualquer
vale
segue que
. Logo,
é reflexiva.
Passo 3
Verificação da simetria: uma relação é simétrica se, sempre que
, também
. Supondo
, temos
. Mas então trocando os papéis de
e
obtemos
, ou seja,
. Logo,
é simétrica.
Passo 4
Verificação da transitividade: uma relação é transitiva se, sempre que
e
, também
. Se
e
, então
Logo
e
é transitiva.
Resposta
Sim,
é uma relação de equivalência em
.