Sejam dadas as funções f(x)=p x e g(x)=2 x+5, em que p é um parâmetro real.
Determine para quais valores de p temos g(x) <= f(x) para todo x in[-8,-1].

Passo 1

Resumindo, temos f(x)=p x e g(x)=2x+5 e queremos
g(x)<= f(x)
para todo xin[-8,-1]. Como a diferença
d(x)=f(x)-g(x)
é uma função afim de x, seu valor mínimo no intervalo fechado ocorre nas extremidades x=-8 ou x=-1. Basta, portanto, garantir d(-8)>=0 e d(-1)>=0.

Passo 2

Calculamos primeiro
d(x)=f(x)-g(x)=p x-(2x+5)=x(p-2)-5

Passo 3

No extremo x=-8 temos
d(-8)=-8(p-2)-5>=0
Rightarrow
-8p+16-5>=0
Rightarrow
-8p+11>=0
Rightarrow
p<=118

Passo 4

No extremo x=-1 temos
d(-1)=-1(p-2)-5>=0
Rightarrow
-p+2-5>=0
Rightarrow
-p-3>=0
Rightarrow
p<= -3

Passo 5

Para que d(x)>=0 em todo o intervalo, p deve satisfazer simultaneamente
p<=118 e p<= -3
A condição mais restritiva é
p<= -3

Resposta

p<= -3

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