Sejam rs e mn fraçōes irredutíveis. Mostre que
rs+mn=r n+m ss n

Passo 1

O enunciado dá duas frações irredutíveis tfracrs e tfracmn, isto é,
gcd(r,s)=1 e gcd(m,n)=1. Pede-se para mostrar que a soma delas é irredutível
se, e somente se, gcd(s,n)=1. Vamos usar a definição de máximo divisor comum
e o fato de que, se um primo divide um produto, então divide pelo menos um dos fatores.

Passo 2

Primeiro escrevemos a soma no denominador comum:

Passo 3

Defina
d = gcdl(rn + ms,;snr)
Queremos provar que d = gcd(s,n). Para isso, mostraremos primeiro que d divide
gcd(s,n).

Passo 4

Seja p um primo que divide d. Então pmid (sn), logo pmid s ou pmid n.
  • Caso pmid s: como pmid (rn + ms) e pmid s, segue pmid ms.
    Subtraindo, pmid (rn+ms)-ms, isto é, pmid rn. Mas gcd(r,s)=1,
    então p não pode dividir r; assim pmid n. Logo p divide tanto s quanto n.
  • Caso pmid n: de modo análogo, pmid (rn+ms) e pmid n implicam pmid rn,
    e como gcd(m,n)=1 não pode dividir m, conclui-se que pmid s.
Em ambos os casos pmid s e pmid n, isto é, pmid gcd(s,n). Logo todo primo divisor de d
divide gcd(s,n), e então
d ;m|;gcd(s,n)

Passo 5

Reciprocamente, seja p primo que divide gcd(s,n). Então pmid s e pmid n,
logo pmid (sn). Como pmid n implica pmid rn e pmid s implica pmid ms,
temos pmid (rn+ms). Assim p também divide d. Concluímos
gcd(s,n);m|;d

Passo 6

Dos Passos 4 e 5 segue que d = gcd(s,n). Portanto
gcdl(rn+ms,;snr) ;=;gcd(s,n)
A soma tfracrn+mssn é irredutível (isto é, tem gcd igual a 1)
se, e somente se, gcd(s,n)=1.

Resposta

A fração tfracrs+tfracmn=tfracrn+mssn é irredutível
se, e somente se, gcd(s,n)=1.

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