O enunciado dá duas frações irredutíveis e , isto é, e . Pede-se para mostrar que a soma delas é irredutível
se, e somente se, . Vamos usar a definição de máximo divisor comum
e o fato de que, se um primo divide um produto, então divide pelo menos um dos fatores.
Passo 2
Primeiro escrevemos a soma no denominador comum:
Passo 3
Defina
Queremos provar que . Para isso, mostraremos primeiro que divide .
Passo 4
Seja um primo que divide . Então , logo ou .
Caso : como e , segue .
Subtraindo, , isto é, . Mas ,
então não pode dividir ; assim . Logo divide tanto quanto .
Caso : de modo análogo, e implicam ,
e como não pode dividir , conclui-se que .
Em ambos os casos e , isto é, . Logo todo primo divisor de
divide , e então
Passo 5
Reciprocamente, seja p primo que divide gcd(s,n). Então pmid s e pmid n,
logo pmid (sn). Como pmid n implica pmid rn e pmid s implica pmid ms,
temos pmid (rn+ms). Assim p também divide d. Concluímos
gcd(s,n);m|;d
Passo 6
Dos Passos 4 e 5 segue que d = gcd(s,n). Portanto
gcdl(rn+ms,;snr) ;=;gcd(s,n)
A soma tfracrn+mssn é irredutível (isto é, tem gcd igual a 1)
se, e somente se, gcd(s,n)=1.
Resposta
A fração tfracrs+tfracmn=tfracrn+mssn é irredutível
se, e somente se, gcd(s,n)=1.
Cálculo - Hygino Domingues - Fundamentos de Aritmética - 1ª Edição - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 376