0 trinômio a x^2+b x+c tem duas raízes reais e distintas; alpha e beta são dois números reais não nulos. O que se pode afirmar sobre as raízes do trinômio aalpha x^2+beta b x+alpha beta^2 c ?

Passo 1

O enunciado diz que o trinômio
a x^2+b x+c
tem duas raízes reais e distintas, logo seu discriminante satisfaz
De<a = b^2-4ac > 0
Queremos estudar as raízes do outro trinômio
aalphax^2+beta b,x+alphabeta^2c,
sabendo que alphaneq0 e betaneq0. Para isso, vamos usar o cálculo do discriminante e as relações de Viète (soma e produto das raízes).

Passo 2

Calculamos o discriminante De<a' do trinômio
aalphax^2+beta b,x+alphabeta^2c. Por definição,
De<a' = (beta b)^2 - 4cdotaalphacdot(alphabeta^2c)
Simplificando,
De<a' = beta^2b^2 - 4,aalpha,alphabeta^2c = beta^2l(b^2-4acr)

Passo 3

Como beta^2>0 e já temos b^2-4ac>0, segue que
De<a' = beta^2(b^2-4ac) > 0
Portanto o novo trinômio também possui duas raízes reais e distintas.

Passo 4

Para ver a relação entre as raízes, usemos Viète. Chamando de r1' e r2' as raízes do trinômio tfracaalphax^2+beta b,x+alphabeta^2c, temos
r1'+r2' = -beta b,a/alpha, = -beta bcdotalphaa = alphabetal(-tfracbar)
e
r1',r2' = alphabeta^2c,a/alpha, = alphabeta^2ccdotalphaa = (alphabeta)^2,ca
Mas para o trinômio original as raízes r1,r2 satisfazem
r1+r2 = -ba, r1r2 = ca
Comparando soma e produto, concluímos que
r1'=alphabeta,r1 e r2'=alphabeta,r2

Resposta

O trinômio tfracaalphax^2+beta b,x+alphabeta^2c tem também duas raízes reais e distintas, e elas são exatamente alphabeta vezes as raízes do trinômio a x^2+b x+c.

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