Um semicone tem área lateral igual a (raiz2 pi+2) cm^2. Determine a medida da sua geratriz, sabendo que o raio da base tem medida igual à altura do semicone.

Passo 1

O enunciado dá um cone circular reto (eles chamam “semicone”) cuja área lateral vale raiz2,pi+2 c m^2 e cujo raio da base r é igual à altura h. Pede-se a geratriz (o comprimento da aresta lateral) l.
Conteúdo: fórmula da área lateral de um cone e Teorema de Pitágoras para relacionar r, h e l.

Passo 2

Como diz que r=h, temos ao aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo geratriz–raio–altura:
l=raizr^2+h^2=raizr^2+r^2=raiz2,r^2=rraiz2

Passo 3

A área lateral de um cone é
AL=pi r,l
Substituindo l=rraiz2 obtemos
AL=pi,r,(rraiz2)=pi,r^2raiz2

Passo 4

Impondo AL=raiz2,pi+2, temos
pi,r^2raiz2=raiz2,pi+2
Dividindo ambos os lados por piraiz2:
r^2=raiz2,pi+2piraiz2 =raiz2,pipiraiz2+2piraiz2 =1+2piraiz2 =1+raiz2pi

Passo 5

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r=raiz1+raiz2pi e l=rraiz2 =raiz2;raiz1+raiz2pi =raiz2l(1+raiz2pir)

Resposta

l=raiz2l(1+tfracraiz2pir) cm

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