Sendo x0,666 ldots=y0,1666 ldots=z0,75 e que x+y+z=38, calcule x, y e z.

Passo 1

O enunciado diz que
x0,666ldots ;=;y0,1666ldots;=;z0,75
e que x+y+z=38.
O conteúdo envolve proporções e conversão de decimais periódicos em frações.

Passo 2

Convertemos cada decimal periódico em fração:
0,666ldots = tfrac23, 0,1666ldots = tfrac16, 0,75 = tfrac34

Passo 3

Como todos os quocientes são iguais, definimos um valor comum k:
xtfrac23 = ytfrac16 = ztfrac34 = k
Isto dá
x = tfrac23k, y = tfrac16k, z = tfrac34k

Passo 4

Usamos x+y+z=38:
tfrac23k + tfrac16k + tfrac34k = 38
Somando as frações:
tfrac23 + tfrac16 + tfrac34 = tfrac812 + tfrac212 + tfrac912 = tfrac1912,
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k cdot tfrac1912 = 38 Longrightarrow k = 38 cdot tfrac1219 = 24

Passo 5

Substituindo k=24 em cada expressão:
x = tfrac23cdot24 = 16, y = tfrac16cdot24 = 4, z = tfrac34cdot24 = 18

Resposta

x = 16,;y = 4,;z = 18.

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