Sendo x, y, a, b e k números reais quaisquer, demonstre que:
|x-a|<k in|y-b|<k Rightarrow|(x+y)-(a-b)|<2 k

Passo 1

O enunciado nos dá x,y,a,b,kinR tais que
|x - a| < k e |y - b| < k
e pede para mostrar
l|(x+y) - (a + b)r| < 2k
O conteúdo central aqui é a desigualdade triangular para somas de números reais.

Passo 2

Reescrevemos a diferença que queremos estimar como soma de dois termos:
(x+y) - (a + b) = (x - a) + (y - b)

Passo 3

Pela desigualdade triangular temos
l|(x+y)-(a + b)r| = l|(x - a) + (y - b)r| <= |x - a| + |y - b|
Como sabemos |x-a| < k e |y-b| < k, segue
|x - a| + |y - b| < k + k = 2k

Resposta

l|(x+y)-(a + b)r| < 2k

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