(Sergipe-99) Dois números têm por razão 5 / 8, e m.d.c. 21. Achar os números.
39) (Espírito Santo-97) A soma de um número natural com o máximo divisor comum entre ele e 99 é 121. Encontre este número.

Passo 1

O primeiro exercício diz: dois números têm razão 5/8 e máximo divisor comum 21. O conteúdo é relação de razões e m.d.c., e para resolver vamos usar que se números estão na razão 5:8 então eles são 5k e 8k, e que gcd(5k,8k)=kcdotgcd(5,8)=k.

Passo 2

Da definição de m.d.c., temos
gcd(5k,8k)=k=21,
logo k=21. Substituindo encontramos os números:
5k=5cdot21=105,
8k=8cdot21=168

Passo 3

O segundo exercício diz: a soma de um número natural n com gcd(n,99) é 121. O conteúdo é divisores e m.d.c., e usaremos que se d=gcd(n,99), então d divide n e 99, além de n+d=121.

Passo 4

Da equação n+d=121 temos n=121-d. Como d divide n e 99, também divide 121=(n+d) e 99, logo d é divisor comum de 121 e 99. Os divisores comuns são 1 e 11.

Passo 5

Testando d=1 n=120 e gcd(120,99)=3neq1, rejeitamos. Testando d=11 n=110 e gcd(110,99)=11, satisfaz. Então n=110.

Resposta

Para o exercício (Sergipe-99): 105 e 168.
Para o exercício (Espírito Santo-97): 110.

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