Um setor esférico tem volume igual a 200 pi cm^3, sua zona de base tem área igual a 100 pi cm^2. Determine o volume da esfera à qual pertence o setor esférico.

Passo 1

O enunciado dá um setor esférico de volume 200pi,cm^{3}) e cuja zona de base tem área 100pi,cm^{2}). Queremos achar o volume da esfera de que esse setor faz parte.

Passo 2

Seja R o raio da esfera e h a altura da zona esférica. Sabemos que a área da zona é
A = 2pi R,h
e que o volume do setor esférico é
V = 23pi R^2,h

Passo 3

Da primeira fórmula temos
h = A2pi R,
que, substituída em V, dá
V = 23pi R^2 cdot A2pi R = A,R3

Passo 4

Substituindo V=200pi e A=100pi em V=A,R3, vem
200pi = 100pi;R3 Longrightarrow R = 6 cm

Passo 5

Então o volume da esfera é
Vesfera = 43pi R^3 = 43pi cdot 6^3 = 288pi cm^3

Resposta

O volume da esfera é 288pi,cm^{3}).

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