Simplifique a expressão racional.
\frac{x-6}{x^{2}+3 x-10}-\frac{x+3}{x-5}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão racional
\frac{x-6}{x^{2}+3x-10}-\frac{x+3}{x-5}.
O conteúdo aqui envolve fatoração de polinômios, cálculo de mínimo múltiplo comum de denominadores e simplificação de frações algébricas.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador quadrático da primeira fração:
x^{2}+3x-10=(x+5)(x-2).

Passo 3

O denominador comum (MMC) das duas frações é
(x+5)(x-2)(x-5).
Então reescrevemos cada fração com esse denominador:
\frac{x-6}{(x+5)(x-2)}=\frac{(x-6)(x-5)}{(x+5)(x-2)(x-5)}, \quad \frac{x+3}{x-5}=\frac{(x+3)(x+5)(x-2)}{(x+5)(x-2)(x-5)}.

Passo 4

Subtraindo numeradores sobre o mesmo denominador, obtemos
\frac{(x-6)(x-5)-(x+3)(x+5)(x-2)}{(x+5)(x-2)(x-5)}.
Expandindo:
(x-6)(x-5)=x^2-11x+30, \quad (x+3)(x+5)(x-2)=x^3+6x^2 -x -30.
Logo o numerador vira
x^2-11x+30-\bigl(x^3+6x^2 -x-30\bigr) =-x^3-5x^2-10x+60.

Passo 5

Colocando tudo junto, a expressão simplificada é
\frac{-x^3-5x^2-10x+60}{(x+5)(x-2)(x-5)}.
Podemos extrair o sinal “–” do numerador:
\frac{-(x^3+5x^2+10x-60)}{(x+5)(x-2)(x-5)}.

Resposta

\frac{-(x^3+5x^2+10x-60)}{(x+5)(x-2)(x-5)}, \quad x\neq -5,\,2,\,5.

Exercícios de Livros Relacionados