Simplifique a expressão racional.
\frac{7}{x-1}+\frac{5}{2 x+3}-\frac{x+2}{2 x^{2}+x-3}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão racional
\frac{7}{x - 1} \;+\;\frac{5}{2x + 3}\;-\;\frac{x+2}{2x^{2} + x - 3}.
O conteúdo aqui é simplificação de soma e diferença de frações algébricas, envolvendo fatoração de polinômios e combinação sobre o mínimo múltiplo comum dos denominadores.

Passo 2

Vamos fatorar o denominador do terceiro termo. Temos
2x^{2} + x - 3 = (2x + 3)(x - 1),
pois (2x + 3)(x - 1) = 2x^2 + x - 3.

Passo 3

O mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores (x - 1), (2x + 3) e (x - 1)(2x + 3) é
(x - 1)(2x + 3).
Reescrevemos cada fração com esse denominador:
\frac{7}{x - 1} = \frac{7\,(2x + 3)}{(x - 1)(2x + 3)} = \frac{14x + 21}{(x - 1)(2x + 3)},
\frac{5}{2x + 3} = \frac{5\,(x - 1)}{(x - 1)(2x + 3)} = \frac{5x - 5}{(x - 1)(2x + 3)},
\frac{x+2}{2x^{2}+x-3} = \frac{x+2}{(x - 1)(2x + 3)}.

Passo 4

Agora somamos e subtraímos os numeradores sobre o mesmo denominador:
\frac{7}{x - 1} + \frac{5}{2x + 3} - \frac{x+2}{2x^{2}+x-3} = \frac{(14x + 21) + (5x - 5) - (x + 2)}{(x - 1)(2x + 3)}.

Passo 5

Simplificamos o numerador:
(14x + 21) + (5x - 5) = 19x + 16,
19x + 16 - (x + 2) = 19x + 16 - x - 2 = 18x + 14 = 2\,(9x + 7).

Passo 6

Substituindo de volta, a expressão fica
\frac{2\,(9x + 7)}{(x - 1)(2x + 3)}.
Não há fator comum a cancelar entre numerador e denominador além do 2, que já está destacado.

Resposta

\frac{2\,(9x + 7)}{(x - 1)(2x + 3)}.

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