Simplifique a expressão racional.
\frac{\frac{x-3}{x+3}-\frac{x+3}{x-3}}{\frac{x}{x-3}-\frac{x}{x+3}}

Passo 1

O enunciado pede a simplificação da expressão racional abaixo.
\frac{\frac{x-3}{x+3} - \frac{x+3}{x-3}}{\frac{x}{x-3} - \frac{x}{x+3}}
Vamos precisar de operações com frações (mesmo denominador), diferença de quadrados e simplificação de quociente de frações.

Passo 2

Para simplificar o numerador, colocamos as frações sobre o mesmo denominador (x+3)(x-3). Assim,
\frac{x-3}{x+3} - \frac{x+3}{x-3} = \frac{(x-3)^2 - (x+3)^2}{(x+3)(x-3)}.
Calculando a diferença de quadrados,
(x-3)^2 - (x+3)^2 = \bigl((x-3)-(x+3)\bigr)\bigl((x-3)+(x+3)\bigr) = -6 \cdot 2x = -12x.
Logo o numerador N é
N = \frac{-12x}{x^2 - 9}.

Passo 3

Para simplificar o denominador, fazemos o mesmo sobre (x-3)(x+3). Assim,
\frac{x}{x-3} - \frac{x}{x+3} = \frac{x(x+3) - x(x-3)}{(x-3)(x+3)}.
Extraindo x em evidência e calculando a diferença,
x(x+3) - x(x-3) = x\bigl((x+3)-(x-3)\bigr) = 6x.
Logo o denominador D é
D = \frac{6x}{x^2 - 9}.

Passo 4

A expressão original é o quociente N/D. Portanto,
\frac{N}{D} = \frac{\frac{-12x}{x^2 -9}}{\frac{6x}{x^2 -9}} = \frac{-12x}{x^2 -9} \cdot \frac{x^2 -9}{6x} = \frac{-12x}{6x} = -2.
Aqui devemos lembrar que nada pode zerar denominador: x\neq 3, x\neq -3 e x\neq 0.

Resposta

-2

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