A soma dos coeficientes dos termos de ordem ímpar de (x-y)^n é 256. Determine n.

Passo 1

O enunciado pede o valor de n sabendo que, na expansão binomial de (x - y)^n, a soma dos coeficientes dos termos de ordem ímpar (isto é, dos termos em que o expoente de y é ímpar) vale 256. Vamos usar o Teorema de Binômio e as identidades envolvendo a soma de coeficientes.

Passo 2

Denote
O = sumsubstackk=0 k ímpar^n binomnk í
a soma dos coeficientes dos termos de ordem ímpar, e
E = sumsubstackk=0 k par^n binomnk
a soma dos coeficientes dos termos de ordem par.
Pela identidade do binômio temos
E + O = sumk=0^n binomnk = 2^n
e também, avaliando (1 - 1)^n,
E - O = sumk=0^n binomnk(-1)^k = 0
Resolvendo esse sistema, obtemos
E + O = 2^n, E - O = 0, Longrightarrow O = 2^n-1

Passo 3

O enunciado afirma que O = 256. Logo,
2^n-1 = 256 = 2^8 Longrightarrow n - 1 = 8 Longrightarrow n = 9

Resposta

9

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