A soma de quatro termos consecutivos de uma progressão aritmética é -6,0 produto do primeiro deles pelo quarto é -54 . Determine esses termos.

Passo 1

O enunciado pede os quatro termos consecutivos de uma progressão aritmética (PA) cuja soma é -6 e cujo produto do primeiro termo pelo quarto é -54. Vamos chamar de a o primeiro termo e de d a razão da PA. Precisaremos usar as fórmulas da soma de termos e do produto a,(a+3d).

Passo 2

A soma dos quatro termos a,;a+d,;a+2d,;a+3d é
a + (a+d) + (a+2d) + (a+3d) ;=;4a + 6d
Como essa soma vale -6, temos
4a + 6d = -6
Dividindo por 2,
2a + 3d = -3 Longrightarrow a = -3 ;-;3d2

Passo 3

A segunda condição é o produto do primeiro termo a pelo quarto a+3d, que vale -54:
a,(a+3d) = -54
Substituindo a = tfrac-3-3d2 e a+3d = tfrac-3-3d2 + 3d = tfrac-3+3d2, obtemos
-3-3d2;cdot;-3+3d2 ;=; -54 Longrightarrow 9 - 9d^24 = -54
Multiplicando ambos os lados por 4:
9 - 9d^2 = -216 Longrightarrow 9d^2 = 225 Longrightarrow d^2 = 25 Longrightarrow d = pm 5

Passo 4

Para d = 5:
a = -3 - 3cdot52 = -3 -152 = -9,
logo os termos são -9,,-4,,1,,6.
Para d = -5:
a = -3 - 3cdot(-5)2 = -3 +152 = 6,
logo os termos são 6,,1,,-4,,-9.

Resposta

Os quatro termos são -9,,-4,,1,,6 (razão 5) ou 6,,1,,-4,,-9 (razão -5).

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