Substitua as letras y ou z de modo que o número:
5 y 8 z seja divisível por 5 e 11, simultaneamente.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos encontrar dígitos y e z tais que o número de quatro algarismos
5y8z
seja divisível simultaneamente por 5 e por 11. Vamos usar os testes de divisibilidade por 5 e por 11.

Passo 2

Critério de divisibilidade por 5: o último dígito deve ser 0 ou 5. Logo
z in 0,5

Passo 3

Critério de divisibilidade por 11: a diferença entre a soma dos dígitos em posições ímpares e em posições pares deve ser múltiplo de 11. No número 5y8z, as posições ímpares são 1ª e 3ª, com soma
5 + 8 = 13,
e as posições pares somam
y + z
Logo a condição é
13 - (y+z) = 0,pm11,pm22,dots
Como y+z varia entre 0 e 18, só podemos ter
13 - (y+z) = 0 ou 13 - (y+z) = 11,
isto é,
y+z = 13 ou y+z = 2

Passo 4

Agora combinamos com zin0,5:
  • Se z=0, então y+0=13 (impossível, pois y<=9) ou y+0=2, logo y=2.
  • Se z=5, então y+5=13, logo y=8, ou y+5=2 (impossível, pois y>=0).
Assim as únicas soluções são
(y,z) = (2,0)e(y,z) = (8,5)

Resposta

As combinações válidas são
y=2, z=0 (número 5280)
e
y=8, z=5 (número 5885).

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