Supondo positivos todos os elementos literais da matriz quadrada
[ccccca1 & a2 & ldots & & an b1 & b2 & ldots & bn-1 & 0 ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots ldots & ldots ldots & ldots r1 & 0 & ldots & 0 & 0]
e sendo n múltiplo de 4, qual é o sinal do determinante correspondente?

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz quadrada de ordem n, com n múltiplo de 4, cujos elementos literais são todos positivos, e em que a linha i tem entradas positivas nas colunas 1 até n-i+1 e zeros nas colunas restantes. Precisamos determinar apenas o sinal de det(A).

Passo 2

Note que a condição “linha i não nula até a coluna n-i+1” equivale a
Aij>0se i+j<= n+1, Aij=0se i+j>n+1
Isto é, A é triangular em relação à antidiagonal (zeros na região i+j>n+1).

Passo 3

Para aproveitar o cálculo de determinante triangular, permutamos as colunas em ordem inversa (isto leva a antidiagonal para a diagonal). A reversão completa de n colunas faz s=tfracn(n-1)2 transposições disjuntas, logo a paridade é
sgn(perm)=(-1)^s=(-1)^n(n-1)2
Chame A' a matriz obtida: ela fica triangular (no caso, triangular superior), com entradas diagonais
A'ii=A,i,;n-i+1,
todos positivos.

Passo 4

Como A' é triangular, tem determinante igual ao produto das diagonais:
det(A')=prodi=1^nA'ii =prodi=1^nA,i,;n-i+1>0
Então
det(A)=sgn(perm)cdotdet(A') =(-1)^n(n-1)2times(positivo)

Passo 5

Se n=4k, então
n(n-1)2 =4k,(4k-1)2 =2k,(4k-1),
e como 4k-1 é ímpar, 2k,(4k-1) é par. Logo
(-1)^n(n-1)2=(-1)^par=+1
Portanto det(A)>0.

Resposta

O determinante é positivo.

Exercícios de Livros Relacionados