Supondo positivos todos os elementos literais da matriz quadrada
e sendo n múltiplo de 4, qual é o sinal do determinante correspondente?
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz quadrada de ordem n, com n múltiplo de 4, cujos elementos literais são todos positivos, e em que a linha i tem entradas positivas nas colunas 1 até n-i+1 e zeros nas colunas restantes. Precisamos determinar apenas o sinal de det(A).
Passo 2
Note que a condição “linha i não nula até a coluna n-i+1” equivale a
Aij>0se i+j<= n+1, Aij=0se i+j>n+1
Isto é, A é triangular em relação à antidiagonal (zeros na região i+j>n+1).
Passo 3
Para aproveitar o cálculo de determinante triangular, permutamos as colunas em ordem inversa (isto leva a antidiagonal para a diagonal). A reversão completa de n colunas faz s=tfracn(n-1)2 transposições disjuntas, logo a paridade é
sgn(perm)=(-1)^s=(-1)^n(n-1)2
Chame A' a matriz obtida: ela fica triangular (no caso, triangular superior), com entradas diagonais
A'ii=A,i,;n-i+1,
todos positivos.
Passo 4
Como A' é triangular, tem determinante igual ao produto das diagonais:
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 328