Suponha que lancemos um dado até que um 6 apareça.
a) Qual é a probabilidade de jogarmos o dado n vezes?
b) Qual é o número esperado de vezes que jogaremos o dado?

Passo 1

O enunciado diz que lançamos um dado justo repetidas vezes até sair o primeiro “6”. Chamamos de N o número de lançamentos necessários. As perguntas são:
a) Qual é a probabilidade de N=n?
b) Qual é o valor esperado de N?
O conteúdo aqui é a distribuição geométrica, com probabilidade de “sucesso” (sair 6) p=\tfrac{1}{6}.

Passo 2

Para que o primeiro 6 apareça exatamente no n-ésimo lançamento, precisamos de n-1 falhas (não-6) seguidas de um sucesso (6). Cada falha tem probabilidade 1-p=\tfrac{5}{6} e o sucesso tem probabilidade p=\tfrac{1}{6}. Logo,
P(N=n) = \bigl(1-p\bigr)^{\,n-1}\,p = \left(\frac{5}{6}\right)^{\,n-1}\frac{1}{6}.

Passo 3

Para calcular E[N], usamos a definição
E[N] =\sum_{n=1}^{\infty}n\,P(N=n) =\sum_{n=1}^{\infty}n\left(\frac{5}{6}\right)^{\,n-1}\frac{1}{6} =\frac{1}{6}\sum_{n=1}^{\infty}n\left(\frac{5}{6}\right)^{\,n-1}.
Sabendo que para |x|<1 vale \sum_{n=1}^\infty n\,x^{n-1}=\tfrac{1}{(1-x)^2}, tomamos x=\tfrac{5}{6} e obtemos
E[N] =\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{\bigl(1-\tfrac{5}{6}\bigr)^{2}} =\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{(\tfrac{1}{6})^{2}} =\frac{1}{6}\cdot 36 =6.

Resposta

(a) P(N=n)=\bigl(\tfrac{5}{6}\bigr)^{n-1}\tfrac{1}{6}.
(b) E[N]=6.

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