Suponha que o preço de um automóvel tenha uma desvalorização média de 19% ao ano sobre o preço do ano anterior. Se
representa o preço inicial (preço de fábrica) e
o preço do automóvel após
anos,
a) determine a expressão de
;
b) determine o tempo mínimo necessário, em número inteiro de anos, após a saída da fábrica, para que um automóvel venha a valer menos que
do valor inicial.
a) determine a expressão de
b) determine o tempo mínimo necessário, em número inteiro de anos, após a saída da fábrica, para que um automóvel venha a valer menos que
Passo 1
O enunciado fala de desvalorização média de
ao ano, ou seja, a cada ano o preço do carro é multiplicado por uma razão fixa menor que 1. Isso é modelo de decaimento exponencial (ou progressão geométrica decrescente). Vamos usar a ideia de que se a taxa de perda é
, a razão anual é
.
Passo 2
Para cada ano
, o preço
é o preço inicial
vezes a razão
elevada a
. Logo,
Passo 3
Agora queremos achar o menor inteiro
tal que o carro vale menos que
do valor inicial, isto é,
Substituindo a fórmula de
,
Passo 4
Como
, podemos dividir ambos os lados por
e obter
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
Como
, ao dividir invertemos a desigualdade, mas basta calcular o valor positivo de
:
Passo 5
O problema pede o tempo mínimo em número inteiro de anos. Como
deve ser maior que
, o menor inteiro que satisfaz é
.
Resposta
a)
b) anos.
b)