Suponha que o preço de um automóvel tenha uma desvalorização média de 19% ao ano sobre o preço do ano anterior. Se F representa o preço inicial (preço de fábrica) e p(t) o preço do automóvel após t anos,
a) determine a expressão de p(t);
b) determine o tempo mínimo necessário, em número inteiro de anos, após a saída da fábrica, para que um automóvel venha a valer menos que 5 % do valor inicial.

Passo 1

O enunciado fala de desvalorização média de 19% ao ano, ou seja, a cada ano o preço do carro é multiplicado por uma razão fixa menor que 1. Isso é modelo de decaimento exponencial (ou progressão geométrica decrescente). Vamos usar a ideia de que se a taxa de perda é 19%, a razão anual é 1-0,19=0,81.

Passo 2

Para cada ano t, o preço p(t) é o preço inicial F vezes a razão (0,81) elevada a t. Logo,
p(t)=F,(0,81)^t

Passo 3

Agora queremos achar o menor inteiro t tal que o carro vale menos que 5% do valor inicial, isto é,
p(t)<0,05,F
Substituindo a fórmula de p(t),
F,(0,81)^t<0,05,F

Passo 4

Como F>0, podemos dividir ambos os lados por F e obter
(0,81)^t<0,05
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
t,ln(0,81)<ln(0,05)
Como ln(0,81)<0, ao dividir invertemos a desigualdade, mas basta calcular o valor positivo de t:
t>ln(0,05)ln(0,81)approx-2,9957-0,2107approx14,21

Passo 5

O problema pede o tempo mínimo em número inteiro de anos. Como t deve ser maior que 14,21, o menor inteiro que satisfaz é t=15.

Resposta

a) p(t)=F,(0,81)^t
b) 15 anos.

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