O teorema do resto, apresentado na Seção 4.2, diz que, dados um polinômio p e um número real a, o valor de p(a) equivale ao resto da divisão de p(x) por x-a. Sendo assim, podemos obter um valor aproximado para sen (a) calculando a divisão do polinômio
p(x)=x-x^36+x^5120-x^75040
por x-a, através do método de Ruffini. Efetuando essa divisão, obtemos
sen(a) approx a(1+a^2(-16+a^2(1120-a^25040)))
A vantagem dessa fórmula sobre aquela apresentada no Exercício 42 é que ela evita o cálculo de potências elevadas de a. Usando a nova fórmula, calcule aproximadamente sen(pi / 6).

Passo 1

O enunciado pede aproximar sen(a) usando o polinômio
p(x)=x-x^36+x^5120-x^75040
e a forma de Horner obtida pela divisão de p(x) por x-a:
sen(a)approx al(1+a^2l(-tfrac16 + a^2(tfrac1120-tfraca^25040)r)r)
Vamos aplicar isso para a=pi/6.

Passo 2

Calculemos a e a^2:
a=pi6approx0,5235988, a^2approx(0,5235988)^2=0,2741557

Passo 3

Dentro do parêntese interno, primeiro
t=1120-a^25040 approx0,00833333 - 0,27415575040 approx0,00827893
Em seguida
u=-16+a^2,t approx -0,1666667 + 0,2741557cdot0,00827893 approx -0,1643959

Passo 4

Por fim, substituímos em
sen(a)approx al(1+a^2,ur) approx 0,5235988l(1+0,2741557cdot(-0,1643959)r) approx0,5235988cdot0,9549401 approx0,500000

Resposta

senl(pi6r)approx0,5000

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