22.9 Se theta está em posição canônica e seu lado final está no quadrante I e sobre a reta y=2 x, encontre as funções trigonométricas de theta.
Para encontrar as funções trigonométricas de theta, qualquer ponto no lado final pode ser escolhido; se x=1, então, y=2 e r=raizx^2+y^2=raiz1^2+2^2=raiz5. Portanto,
lll sen theta=yr=2raiz5 & cos theta=xr=1raiz5 & tg theta=yx=21=2 csc theta=ry=raiz52 & sec theta=rx=raiz51=raiz5 & cotg theta=xy=12

Passo 1

O enunciado diz que theta está em posição canônica, seu lado final está no primeiro quadrante e sobre a reta y=2x. Pedem as seis funções trigonométricas de theta. O conteúdo usado será a definição de seno, cosseno e tangente em termos de um ponto (x,y) no plano e o cálculo de r=raizx^2+y^2.

Passo 2

Para usar essas definições, escolhemos um ponto simples sobre a reta y=2x. Se tomarmos x=1, então y=2cdot1=2. Assim, nosso ponto é (1,2).

Passo 3

Calculamos a hipotenusa r (distância da origem até (1,2)) usando o teorema de Pitágoras:
r = raizx^2 + y^2 = raiz1^2 + 2^2 = raiz1 + 4 = raiz5

Passo 4

Aplicamos as definições de seno, cosseno e tangente:
sin theta = yr = 2raiz5, cos theta = xr = 1raiz5, tan theta = yx = 21 = 2

Passo 5

As funções recíprocas são:
csc theta = 1sin theta = raiz52, sec theta = 1cos theta = raiz5, cot theta = 1tan theta = 12

Resposta

sin theta = 2raiz5, cos theta = 1raiz5, tan theta = 2,
csc theta = raiz52, sec theta = raiz5, cot theta = 12

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