(UF-PR) Todas as faces de um cubo sólido de aresta 9 cm foram pintadas de verde. Em seguida, por meio de cortes paralelos a cada uma das faces, esse cubo foi dividido em cubos menores, todos com aresta 3 cm . Com relação a esses cubos, considere as seguintes afirmativas:
  1. Seis desses cubos menores terão exatamente uma face pintada de verde.
  2. Vinte e quatro desses cubos menores terão exatamente duas faces pintadas de verde.
  3. Oito desses cubos menores terão exatamente três faces pintadas de verde.
  4. Um desses cubos menores não terá nenhuma das faces pintada de verde.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas 1, 2 e 4 são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas 1 e 4 são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
e) As afirmativas 1, 2, 3 e 4 são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá um cubo de aresta 9,cm cujas faces externas foram todas pintadas de verde e depois o cubo foi cortado em cubos menores de aresta 3,cm. Como tfrac93=3, obtemos um arranjo 3times3times3 de pequenos cubos, totalizando 3^3=27 cubinhos. Precisamos classificar esses cubos de acordo com o número de faces pintadas (de 0 a 3).

Passo 2

Cubos com exatamente três faces pintadas são aqueles nos vértices do cubo maior. Um cubo tem 8 vértices, logo há
8
cubos com três faces pintadas.

Passo 3

Cubos com exatamente duas faces pintadas são os que ficam no meio de cada aresta, excluindo os vértices. Cada aresta contém 3 cubos, dos quais 2 são vértices, sobrando 1 no meio. Como um cubo tem 12 arestas, obtemos
12 times 1 =12
cubos com duas faces pintadas.

Passo 4

Cubos com exatamente uma face pintada são aqueles no centro de cada face do cubo maior, excluindo arestas e vértices. Cada face contém (3-2)^2=1 cubo nessa posição, e há 6 faces, portanto
6 times 1 =6
cubos com uma face pintada.

Passo 5

Cubos sem nenhuma face pintada são os totalmente internos, ou seja, (3-2)^3=1 cubo no centro do arranjo 3times3times3. Logo há
1
cubo sem pintura.

Passo 6

Comparando com as afirmativas:
1. Diz que são 6 cubos com exatamente uma face pintada – verdadeiro.
2. Diz que são 24 cubos com exatamente duas faces pintadas – falso (são 12).
3. Diz que são 8 cubos com exatamente três faces pintadas – verdadeiro.
4. Diz que há 1 cubo sem pintura – verdadeiro.

Resposta

c) Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verdadeiras.

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