(UF-PR) Todas as faces de um cubo sólido de aresta 9 cm foram pintadas de verde. Em seguida, por meio de cortes paralelos a cada uma das faces, esse cubo foi dividido em cubos menores, todos com aresta 3 cm . Com relação a esses cubos, considere as seguintes afirmativas:
- Seis desses cubos menores terão exatamente uma face pintada de verde.
- Vinte e quatro desses cubos menores terão exatamente duas faces pintadas de verde.
- Oito desses cubos menores terão exatamente três faces pintadas de verde.
- Um desses cubos menores não terá nenhuma das faces pintada de verde.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas 1, 2 e 4 são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas 1 e 4 são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
e) As afirmativas 1, 2, 3 e 4 são verdadeiras.
a) Somente as afirmativas 1, 2 e 4 são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas 1 e 4 são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
e) As afirmativas 1, 2, 3 e 4 são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá um cubo de aresta
,cm cujas faces externas foram todas pintadas de verde e depois o cubo foi cortado em cubos menores de aresta
,cm. Como
, obtemos um arranjo
de pequenos cubos, totalizando
cubinhos. Precisamos classificar esses cubos de acordo com o número de faces pintadas (de
a
).
Passo 2
Cubos com exatamente três faces pintadas são aqueles nos vértices do cubo maior. Um cubo tem
vértices, logo há
cubos com três faces pintadas.
Passo 3
Cubos com exatamente duas faces pintadas são os que ficam no meio de cada aresta, excluindo os vértices. Cada aresta contém
cubos, dos quais
são vértices, sobrando
no meio. Como um cubo tem
arestas, obtemos
cubos com duas faces pintadas.
Passo 4
Cubos com exatamente uma face pintada são aqueles no centro de cada face do cubo maior, excluindo arestas e vértices. Cada face contém
cubo nessa posição, e há
faces, portanto
cubos com uma face pintada.
Passo 5
Cubos sem nenhuma face pintada são os totalmente internos, ou seja,
cubo no centro do arranjo
. Logo há
cubo sem pintura.
Passo 6
Comparando com as afirmativas:
. Diz que são
cubos com exatamente uma face pintada – verdadeiro.
. Diz que são
cubos com exatamente duas faces pintadas – falso (são
).
. Diz que são
cubos com exatamente três faces pintadas – verdadeiro.
. Diz que há
cubo sem pintura – verdadeiro.
Resposta
c) Somente as afirmativas
,
e
são verdadeiras.