Ao traçar o gráfico de funções trigonométricas, é preciso cuidado na seleção dos pontos usados para aproximar a curva. Dada a função f(x)=sen(2 x+pi), responda os itens abaixo.
a) Monte uma tabela com os pares ( x, f(x) ), usando os seguintes valores de x: 0, pi2, pi, 3 pi2 e 2 pi. O que acontece?
b) Determine o período da função f.
c) Quando o período é pequeno, não é adequado escolher pontos muito espaçados para esboçar o gráfico de f. Monte uma tabela de pares ( x, f(x) ) na qual os valores de x comecem em 0 , terminem em pi e estejam espaçados uniformemente por pi / 8.
d) Com base em sua tabela e conhecendo o formato do gráfico da função seno, esboce o gráfico de f no intervalo [-pi, pi]. (Note que, para que o gráfico ficasse mais preciso, seria necessário usar mais que nove pontos no intervalo [0, pi].)

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos a função
f(x)=sen(2x+pi)
usando tabelas de valores, encontrando o período e, por fim, esboçando o gráfico no intervalo [- pi,pi]. O conteúdo é análise de funções trigonométricas: cálculo de valores pontuais, determinação de período e esboço de seno modificado.

Passo 2

(a) Vamos montar a tabela em x=0,tfracpi2,pi,tfrac3pi2,2pi. Como
f(x)=sen(2x+pi),
temos
c|c x & f(x)hline 0 & sen(pi)=0 tfracpi2 & sen(2cdottfracpi2+pi)=sen(2pi)=0 pi & sen(2pi+pi)=sen(3pi)=0 tfrac3pi2 & sen(3pi+pi)=sen(4pi)=0 2pi & sen(4pi+pi)=sen(5pi)=0
O que acontece? Todos os pontos caem em f(x)=0, ou seja, a tabela fica “achatada” no eixo x e a curva verdadeira (que oscila) some. Isso mostra que, quando o período é pequeno, pontos muito espaçados não capturam o formato da função.

Passo 3

(b) Para encontrar o período, lembramos que sen(kx) tem período 2pi/k. Aqui k=2, logo
T=2pi2=pi

Passo 4

(c) Agora refinamos de 0 a pi em passos de pi/8. Usando
f(x)=sen(2x+pi)=-sen(2x),
a tabela fica
c|c x & f(x)hline 0 & 0 tfracpi8 & -senl(tfracpi4r)=-tfracraiz22 tfracpi4 & -senl(tfracpi2r)=-1 tfrac3pi8 & -senl(tfrac3pi4r)=-tfracraiz22 tfracpi2 & -sen(pi)=0 tfrac5pi8 & -senl(tfrac5pi4r)=tfracraiz22 tfrac3pi4 & -senl(tfrac3pi2r)=1 tfrac7pi8 & -senl(tfrac7pi4r)=tfracraiz22 pi & -sen(2pi)=0

Passo 5

(d) Para esboçar em [- pi,pi], notamos que o período é pi, então há duas oscilações completas. Os zeros ocorrem em x=-pi,-tfracpi2,0,tfracpi2,pi; os máximos em f=1 em -tfracpi4 e tfrac3pi4; os mínimos em f=-1 em tfracpi4 e -tfrac3pi4. Basta ligar esses pontos com a forma suave de uma senoide invertida ( f(x)=-sen(2x)) para obter o esboço.

Resposta

a) Na tabela grossa com espaçamento pi/2, todos os valores dão zero, achatando o gráfico.
b) T=pi.
c) Tabela refinada de 0 a pi em pi/8 conforme mostrado.
d) Gráfico em [- pi,pi] com zeros em múltiplos de pi2, máximos em -tfracpi4,tfrac3pi4 e mínimos em tfracpi4,-tfrac3pi4, ligado suavemente como seno invertido.

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