Em um trapézio isósceles são dados as bases a e c e o lado não paralelo b. Demonstrar que o raio da circunferência circunscrita é igual a
.
Passo 1
O enunciado nos dá um trapézio isósceles
com bases
,
e lados não paralelos
. Sabemos que todo trapézio isósceles é cíclico, ou seja, seus vértices pertencem a uma circunferência. Queremos determinar o raio
dessa circunferência usando o Teorema de Ptolomeu e a Lei dos Senos.
Passo 2
Pelo Teorema de Ptolomeu em quadrilátero cíclico vale
isto é,
Como no trapézio isósceles as diagonais são iguais (
), segue
portanto
Passo 3
Seja
a projeção horizontal de
sobre a base
. Como as bases diferem em
e o trapézio é simétrico, temos
No triângulo retângulo formado pela altura
e essa projeção vale
logo
O ângulo na base
satisfaz
Passo 4
Na Lei dos Senos aplicada ao triângulo
obtemos
Substituindo
e
do passo anterior,
Passo 5
Basta agora substituir
no denominador:
Logo
e portanto