Em um trapézio isósceles são dados as bases a e c e o lado não paralelo b. Demonstrar que o raio da circunferência circunscrita é igual a
b \sqrt{\frac{a c+b^{2}}{(2 b+c-a)(2 b+a-c)}}.

Passo 1

O enunciado nos dá um trapézio isósceles ABCD com bases AB=c, CD=a e lados não paralelos AD=BC=b. Sabemos que todo trapézio isósceles é cíclico, ou seja, seus vértices pertencem a uma circunferência. Queremos determinar o raio R dessa circunferência usando o Teorema de Ptolomeu e a Lei dos Senos.

Passo 2

Pelo Teorema de Ptolomeu em quadrilátero cíclico vale
AC\cdot BD = AB\cdot CD + AD\cdot BC,
isto é,
AC\cdot BD = c\cdot a + b\cdot b = ac + b^2.
Como no trapézio isósceles as diagonais são iguais ( AC=BD), segue
AC^2 = ac + b^2,
portanto
AC = BD = \sqrt{ac + b^2}.

Passo 3

Seja d a projeção horizontal de AD sobre a base AB. Como as bases diferem em c - a e o trapézio é simétrico, temos
d = \frac{c - a}{2}.
No triângulo retângulo formado pela altura h e essa projeção vale
b^2 = d^2 + h^2,
logo
h = \sqrt{b^2 - d^2}.
O ângulo na base A satisfaz
\sin(\angle A) = \frac{h}{b} = \frac{\sqrt{b^2 - d^2}}{b}.

Passo 4

Na Lei dos Senos aplicada ao triângulo ABD obtemos
\frac{BD}{\sin(\angle A)} = 2R.
Substituindo BD = \sqrt{ac + b^2} e \sin(\angle A) do passo anterior,
R = \frac{\sqrt{ac + b^2}}{2\,\frac{\sqrt{b^2 - d^2}}{b}} = \frac{b\sqrt{ac + b^2}}{2\sqrt{b^2 - d^2}}.

Passo 5

Basta agora substituir d = \frac{c - a}{2} no denominador:
b^2 - d^2 = b^2 - \frac{(c - a)^2}{4} = \frac{4b^2 - (c - a)^2}{4} = \frac{(2b + c - a)(2b - c + a)}{4}.
Logo
2\sqrt{b^2 - d^2} = \sqrt{(2b + c - a)(2b + a - c)},
e portanto
R = b\frac{\sqrt{ac + b^2}}{\sqrt{(2b + c - a)(2b + a - c)}} = b\sqrt{\frac{ac + b^2}{(2b + c - a)(2b + a - c)}}.

Resposta

R = b\sqrt{\frac{ac + b^2}{(2b + c - a)(2b + a - c)}}.

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