Em um triângulo ABC é possível ter simultaneamente: a^2=b^2+c^2+2 b m e^2=b^2+a^2+2 b n sendo m projeção de c sobre b e n, projeção de a sobre b ? Justifique.

Passo 1

Vamos chamar os lados do triângulo de acordo com o usual: a=BC, b=CA, c=AB. O enunciado diz que simultaneamente
a^2=b^2+c^2+2,b,m
e
c^2=b^2+a^2+2,b,n,
onde m é a projeção de c sobre b e n é a projeção de a sobre b. Para resolver, vamos usar a definição de projeção e a Lei dos Cossenos.

Passo 2

Pela definição de projeção num triângulo:
m=projb(c)=ccos A, n=projb(a)=acos C

Passo 3

A Lei dos Cossenos em a afirma
a^2=b^2+c^2-2,b,ccos A
Compare com a hipótese a^2=b^2+c^2+2,b,m. Substituindo m=ccos A no termo dado, obtemos
b^2+c^2+2,b,m = b^2+c^2+2,b,(ccos A) = b^2+c^2+2,b,ccos A
Logo a hipótese exige
b^2+c^2-2,b,ccos A = b^2+c^2+2,b,ccos A

Passo 4

Da igualdade
-2,b,ccos A=+2,b,ccos A
vem
4,b,ccos A=0 Longrightarrow cos A=0 Longrightarrow A=90^circ

Passo 5

Analogamente, a Lei dos Cossenos em c é
c^2=a^2+b^2-2,a,bcos C,
e a hipótese
,c^2=b^2+a^2+2,b,n leva a
-2,a,bcos C=+2,a,bcos C Longrightarrow cos C=0 Longrightarrow C=90^circ

Passo 6

Concluímos que as duas condições só se satisfazem se A=C=90^circ. Mas num triângulo euclidiano não podem existir dois ângulos retos simultaneamente (a soma dos ângulos internos deve ser 180^circ e já teríamos A+C=180^circ, sobrando B=0^circ, degenerando o triângulo).

Resposta

Não é possível ter simultaneamente
a^2=b^2+c^2+2b,m e c^2=b^2+a^2+2b,n
num triângulo não degenerado, pois isso exigiria dois ângulos retos.

Exercícios de Livros Relacionados