Em um triângulo ABC é possível ter simultaneamente:
sendo
projeção de
sobre
e
, projeção de a sobre
? Justifique.
Passo 1
Vamos chamar os lados do triângulo de acordo com o usual:
,
,
. O enunciado diz que simultaneamente
e
onde
é a projeção de
sobre
e
é a projeção de
sobre
. Para resolver, vamos usar a definição de projeção e a Lei dos Cossenos.
Passo 2
Pela definição de projeção num triângulo:
Passo 3
A Lei dos Cossenos em
afirma
Compare com a hipótese
. Substituindo
no termo dado, obtemos
Logo a hipótese exige
Passo 4
Da igualdade
vem
Passo 5
Analogamente, a Lei dos Cossenos em
é
e a hipótese
leva a
Passo 6
Concluímos que as duas condições só se satisfazem se
. Mas num triângulo euclidiano não podem existir dois ângulos retos simultaneamente (a soma dos ângulos internos deve ser
e já teríamos
, sobrando
, degenerando o triângulo).
Resposta
Não é possível ter simultaneamente
num triângulo não degenerado, pois isso exigiria dois ângulos retos.