Em um triângulo retângulo, a diferença das projeções das projeções dos catetos sobre a hipotenusa é igual à altura h relativa à hipotenusa. Achar as expressões dos três lados do triângulo em função de h.
Passo 1
Temos um triângulo retângulo de catetos
e
e hipotenusa
. A altura relativa à hipotenusa vale
. Seja
a projeção de
sobre
e
a projeção de
sobre
. Pelas propriedades do triângulo retângulo:
- Teorema da altura:
- Projeções:
O enunciado diz que a diferença das projeções é igual à altura, isto é,
Passo 2
Escrevendo as duas relações explicitamente:
Passo 3
Multiplicando ambas as igualdades por
, obtemos
Como os termos à direita são iguais, concluímos
Passo 4
Trata-se de uma equação quadrática em
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Escolhemos o sinal “
” para garantir
. Defina
. Então
Passo 5
Usamos o Teorema de Pitágoras para relacionar
e
:
Como
, temos
. Então
Por outro lado, da altura
, isolamos
:
Substituindo
e
e simplificando, chega-se a
Passo 6
Finalmente: