Em um triângulo retângulo, a diferença das projeções das projeções dos catetos sobre a hipotenusa é igual à altura h relativa à hipotenusa. Achar as expressões dos três lados do triângulo em função de h.

Passo 1

Temos um triângulo retângulo de catetos a e b e hipotenusa c. A altura relativa à hipotenusa vale h. Seja p a projeção de b sobre c e q a projeção de a sobre c. Pelas propriedades do triângulo retângulo:
  • Teorema da altura:
h = \frac{a\,b}{c}.
  • Projeções:
p = \frac{a^2}{c}, \quad q = \frac{b^2}{c}.
O enunciado diz que a diferença das projeções é igual à altura, isto é,
p - q = h.

Passo 2

Escrevendo as duas relações explicitamente:
\frac{a\,b}{c} = h \quad\text{e}\quad \frac{a^2 - b^2}{c} = h.

Passo 3

Multiplicando ambas as igualdades por c, obtemos
a\,b = c\,h, \quad a^2 - b^2 = c\,h.
Como os termos à direita são iguais, concluímos
a^2 - b^2 = a\,b \;\;\Longrightarrow\;\; a^2 - a\,b - b^2 = 0.

Passo 4

Trata-se de uma equação quadrática em a. Usando a fórmula de Bhaskara:
a = \frac{b \pm \sqrt{b^2 + 4b^2}}{2} = \frac{b\bigl(1 \pm \sqrt{5}\bigr)}{2}.
Escolhemos o sinal “ +” para garantir a>0. Defina \displaystyle \varphi = \frac{1+\sqrt5}{2}. Então
a = \varphi\,b.

Passo 5

Usamos o Teorema de Pitágoras para relacionar c e b:
c^2 = a^2 + b^2 = (\varphi^2 + 1)\,b^2.
Como \varphi^2 = \varphi + 1, temos \varphi^2+1 = \varphi+2. Então
c = b\,\sqrt{\varphi+2}.
Por outro lado, da altura h = \frac{a\,b}{c} = \frac{\varphi\,b^2}{c}, isolamos b:
b = h\;\frac{\sqrt{\varphi+2}}{\varphi}.
Substituindo \varphi = \tfrac{1+\sqrt5}{2} e \varphi+2 = \tfrac{5+\sqrt5}{2} e simplificando, chega-se a
b = \frac{h}{2}\,\sqrt{10 - 2\sqrt5}.

Passo 6

Finalmente:
a = \varphi\,b = \frac{h}{2}\,\sqrt{10 + 2\sqrt5}, \quad b = \frac{h}{2}\,\sqrt{10 - 2\sqrt5}, \quad c = b\,\sqrt{\varphi+2} = h\sqrt5.

Resposta

a = \dfrac{h}{2}\sqrt{10 + 2\sqrt5},\quad b = \dfrac{h}{2}\sqrt{10 - 2\sqrt5},\quad c = h\sqrt5.

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