(UEL-2005) Seja uma função e um subconjunto de . A imagem de pela função é o conjunto definido e denotado por : existe tal que . Quando a função , for definida por
a imagem do intervalo fechado [-1,3], isto é, Im([-1,3]) é dada por:
a) 1 cupy in P: 3<y <= 5
b) y in P: 3<y <= 5
c) 1 capy in P: 3 <= y <= 5
d) y in P: y >= 3
Passo 1
O enunciado pede a imagem do intervalo
O conteúdo usado é a definição de imagem de um conjunto:
Aqui em partes que caem em cada ramo de .
Passo 2
Dividimos [-1,3] conforme as restrições de cada parte de f:
– Para -1<= x<=1, usa-se f(x)=1.
– Para 1<x<=3, usa-se f(x)=x+2.
Não há x< -1 em [-1,3], logo o terceiro ramo não contribui.
Passo 3
Imagem de x:-1<= x<=1 sob f (ramo constante):
f(x)=1forall xin[-1,1],
logo essa parte contribui com o conjunto 1.
Passo 4
Imagem de x:1<x<=3 sob f (ramo x+2):
– Quando xto1^+, x+2to3^+.
– Quando x=3, x+2=5.
Logo
f(x):1<x<=3=yin P:3<y<=5
Passo 5
Unindo as partes,
Im([-1,3])=1;cup;yin P:3<y<=5
Passo 6
Comparando com as alternativas, isso corresponde à letra (a).
Resposta
a) 1cupyin P:3<y<=5
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da Matemática - Vol 1 - 3ª Edição - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 109