(UERJ-2002) Analise a expressão abaixo, na qual n é um número natural: N=10^n-n.
a) Se n é um número par, então N também é um número par. Justifique esta afirmativa.
b) Determine o valor da soma dos algarismos de N quando n=92.

Passo 1

O enunciado define
N = 10^n - n,
onde n é natural, e pede:
  • (a) mostrar que, se n é par, então N é par (conteúdo: paridade, cálculo em bmod2);
  • (b) calcular a soma dos dígitos de N quando n=92 (conteúdo: representação decimal e subtração com empréstimo).

Passo 2

Para a paridade de N, note que, para qualquer n>=1,
10^nequiv0pmod2
pois 10^n é múltiplo de 2. Se n é par então
nequiv0pmod2
Logo
N = 10^n - n equiv 0 - 0 = 0 pmod2,
ou seja, N é par.

Passo 3

Agora n=92. A expansão decimal de 10^92 é um 1 seguido de 92 zeros. Para subtrair 92 desse número, fazemos empréstimos ao longo da cadeia de zeros, obtendo um número com 92 dígitos cuja forma é
N = underbrace9ldots990 vezes,0,8

Passo 4

A soma dos dígitos de N é
90times 9 + 0 + 8 = 810 + 8 = 818

Resposta

(a) N é par porque 10^nequiv0pmod2 e, para n par, nequiv0pmod2, logo Nequiv0pmod2.
(b) A soma dos dígitos de N quando n=92 é 818.

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