(UERJ-2002) Analise a expressão abaixo, na qual n é um número natural: .
a) Se n é um número par, então N também é um número par. Justifique esta afirmativa.
b) Determine o valor da soma dos algarismos de N quando .
Passo 1
O enunciado define
onde é natural, e pede:
(a) mostrar que, se é par, então é par (conteúdo: paridade, cálculo em );
(b) calcular a soma dos dígitos de quando (conteúdo: representação decimal e subtração com empréstimo).
Passo 2
Para a paridade de , note que, para qualquer ,
pois é múltiplo de . Se é par então
Logo
ou seja, é par.
Passo 3
Agora . A expansão decimal de é um seguido de zeros. Para subtrair desse número, fazemos empréstimos ao longo da cadeia de zeros, obtendo um número com dígitos cuja forma é
Passo 4
A soma dos dígitos de N é
90times 9 + 0 + 8 = 810 + 8 = 818
Resposta
(a) N é par porque 10^nequiv0pmod2 e, para n par, nequiv0pmod2, logo Nequiv0pmod2.
(b) A soma dos dígitos de N quando n=92 é 818.
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da Matemática - Vol 1 - 3ª Edição - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 23