(UFAC-2001) Se f: A subset IR IR é uma função real. Uma das afirmações abaixo caracteriza que fé crescente. Qual é ela ?
a) x>y Rightarrow f(x)<f(y), para todos x , y em A
b) x neq y Rightarrow f(x) neq f(y), para todos x , y em A
c) Dado y in mid R, existe x em A tal f(x)=y
d) Para todos x, y em A, f(x)=f(y)

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual das afirmações caracteriza que a função fcolon AsubsetRtoR é crescente (estritamente crescente). Em teoria de funções reais, dizemos que f é estritamente crescente se, para quaisquer x,yin A,
x>yLongrightarrow f(x)>f(y)

Passo 2

Analisando cada alternativa:
a) ,x>yRightarrow f(x)<f(y).
Isto diz que quando x é maior que y, f(x) fica menor que f(y). É precisamente a definição estrita de decrescimento, e não de crescimento.
b) ,xneq yRightarrow f(x)neq f(y).
Esta é a condição de injetividade, mas uma função injetora não precisa ser crescente (ela pode oscilar).
c) Dado yinR, existe xin A tal que f(x)=y.
Esta é a condição de sobrejetividade (imagem igual ao contradomínio), não diz nada sobre monotonicidade.
d) Para todos x,yin A,,f(x)=f(y).
Esta caracteriza função constante, o oposto de crescente estrita.

Passo 3

Nenhuma das alternativas dadas está escrita exatamente como a definição de crescente estrito l(x>yRightarrow f(x)>f(y)r). A única que se aproxima é a (a), mas com o sinal de desigualdade invertido (ela caracteriza decrescimento).

Resposta

Ainda que a alternativa (a) esteja invertida — e portanto descreva decrescimento — ela é a única que envolve uma relação direta entre a ordem em x,y e a ordem em f(x),f(y). A definição correta de crescente estrito seria
x>yRightarrow f(x)>f(y),
portanto nenhuma das opções corresponde exatamente a “ f é crescente”. Mas, supondo que tenha ocorrido um erro tipográfico e que a letra (a) devesse ter “ !>!” em vez de “ <”, a resposta seria:
(a)

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