(UFAC-2001) Se f:
é uma função real. Uma das afirmações abaixo caracteriza que fé crescente. Qual é ela ?
a)
, para todos x , y em A
b)
, para todos x , y em A
c) Dado
, existe x em A tal
d) Para todos
, y em
a)
b)
c) Dado
d) Para todos
Passo 1
O enunciado pede para identificar qual das afirmações caracteriza que a função
é crescente (estritamente crescente). Em teoria de funções reais, dizemos que
é estritamente crescente se, para quaisquer
,
Passo 2
Analisando cada alternativa:
a)
.
Isto diz que quando é maior que
,
fica menor que
. É precisamente a definição estrita de decrescimento, e não de crescimento.
Isto diz que quando
b)
.
Esta é a condição de injetividade, mas uma função injetora não precisa ser crescente (ela pode oscilar).
Esta é a condição de injetividade, mas uma função injetora não precisa ser crescente (ela pode oscilar).
c) Dado
, existe
tal que
.
Esta é a condição de sobrejetividade (imagem igual ao contradomínio), não diz nada sobre monotonicidade.
Esta é a condição de sobrejetividade (imagem igual ao contradomínio), não diz nada sobre monotonicidade.
d) Para todos
.
Esta caracteriza função constante, o oposto de crescente estrita.
Esta caracteriza função constante, o oposto de crescente estrita.
Passo 3
Nenhuma das alternativas dadas está escrita exatamente como a definição de crescente estrito
. A única que se aproxima é a (a), mas com o sinal de desigualdade invertido (ela caracteriza decrescimento).
Resposta
Ainda que a alternativa (a) esteja invertida — e portanto descreva decrescimento — ela é a única que envolve uma relação direta entre a ordem em
e a ordem em
. A definição correta de crescente estrito seria
portanto nenhuma das opções corresponde exatamente a “
é crescente”. Mas, supondo que tenha ocorrido um erro tipográfico e que a letra (a) devesse ter “
” em vez de “
”, a resposta seria:
(a)