(UFC-2004) Considere a função
f(x)=cxdx+3, definida para todo número real x tal que dx+3 neq 0, onde c e d são constantes reais. Sabendo que f(f(x))=x ef^(5)(3)=f(f(f(f(f(3)))))= -3 / 5, podemos afirmar que c^2+d^2 é igual a:
a) 5
b) 25
c) 61
d) 113

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = c,xd,x + 3,
definida para todos os x tais que d,x+3neq0, e impõe duas condições:
  1. f(f(x)) = x para todo x no domínio (ou seja, f é involutiva).
  2. f^(5)(3) = -tfrac35.
    O que precisamos encontrar é c^2+d^2.

Passo 2

Vamos usar a involutividade f(f(x))=x. Primeiro calculamos
f(f(x)) = cl(f(x)r)d,l(f(x)r)+3 = cl(tfracc,xd,x+3r)dl(tfracc,xd,x+3r)+3 = tfracc^2,xd,x+3tfracc,d,xd,x+3+3 = c^2,xd(c+3),x + 9
Para que isso seja igual a x para todo x, o numerador e o denominador devem dar
f(f(x))=c^2,xd(c+3),x+9equiv x Longrightarrow c^2 = 9, d,(c+3)=0

Passo 3

Da primeira equação vem
c^2 = 9 ;Longrightarrow; c = 3 ou c = -3
Da segunda, d(c+3)=0, temos duas possibilidades:
  • d=0, com c=pm3, ou
  • c=-3, com d qualquer.

Passo 4

Agora usamos f^(5)(3)=-tfrac35. Como f é involutiva, f^(2)=id, f^(3)=f, f^(4)=id, f^(5)=f. Logo
f^(5)(3) = f(3) = ccdot 3dcdot 3 + 3 = 3c3(d+1) = cd+1
Isso deve valer -tfrac35, logo
cd+1 = -35

Passo 5

Das opções da involutividade, a única que permite resolver tfraccd+1=-tfrac35 é a que fixa c=-3 (pois com d=0 daria pm3, não -tfrac35). Substituindo c=-3:
-3d+1 = -35 Longrightarrow 3d+1 = 35 Longrightarrow d+1 = 5 Longrightarrow d = 4

Passo 6

Por fim,
c^2 + d^2 = (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25

Resposta

b) 25

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