(UFV-98) Sejam f, g: R R funções tais que f(x)=-x^2+4 x e g(x)=2 x. Considere o triângulo retângulo cujos catetos têm por medida, respectivamente, os valores máximos de fog e gof . Calcule a área deste triângulo.

Passo 1

O enunciado dá duas funções f,g:RtoR definidas por
f(x) = -x^2 + 4x, g(x) = 2x,
e pede para construirmos um triângulo retângulo cujos catetos valem, respectivamente, o valor máximo de fcirc g e o valor máximo de gcirc f. Vamos então (i) calcular as composições, (ii) achar os vértices (máximos) dessas parábolas e (iii) usar esses máximos como comprimentos dos catetos para obter a área.

Passo 2

Calculando fcirc g, temos
(fcirc g)(x) = fl(g(x)r) = f(2x) = -(2x)^2 + 4,(2x) = -4x^2 + 8x
Trata-se de uma parábola voltada para baixo. O valor de x que maximiza -4x^2+8x é dado por
xv = -b2a = -82cdot(-4) = 1
Substituindo,
max (fcirc g) = -4,(1)^2 + 8,(1) = 4

Passo 3

Agora gcirc f:
(gcirc f)(x) = gl(f(x)r) = 2l(-x^2+4xr) = -2x^2 + 8x
Também é uma parábola voltada para baixo, com vértice em
xv = -82cdot(-2) = 2
Logo
max (gcirc f) = -2,(2)^2 + 8,(2) = -8 +16 = 8

Passo 4

Os catetos do triângulo valem max(fcirc g)=4 e max(gcirc f)=8. A área de um triângulo retângulo é metade do produto dos catetos, isto é,
Área = 12times 4 times 8 = 16 Á

Resposta

A área do triângulo é 16.

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