(UFV-98) Sejam
funções tais que
e
. Considere o triângulo retângulo cujos catetos têm por medida, respectivamente, os valores máximos de fog e gof . Calcule a área deste triângulo.
Passo 1
O enunciado dá duas funções
definidas por
e pede para construirmos um triângulo retângulo cujos catetos valem, respectivamente, o valor máximo de
e o valor máximo de
. Vamos então (i) calcular as composições, (ii) achar os vértices (máximos) dessas parábolas e (iii) usar esses máximos como comprimentos dos catetos para obter a área.
Passo 2
Calculando
, temos
Trata-se de uma parábola voltada para baixo. O valor de
que maximiza
é dado por
Substituindo,
Passo 3
Agora
:
Também é uma parábola voltada para baixo, com vértice em
Logo
Passo 4
Os catetos do triângulo valem
e
. A área de um triângulo retângulo é metade do produto dos catetos, isto é,
Resposta
A área do triângulo é
.