(Unesp-SP) Dadas a matriz , com x in R, e a matriz U, definida pela equação U=A^2-3 A+2 I, em que A^2=A cdot A e I é a matriz identidade, então, o conjunto aceitável de valores de x de modo que U seja inversível é:
a) x in R mid x neq 3 e x neq 5
b) x in R mid x neq 1 e x neq 2
c) x in R mid x=3 e x=5
d) x in R mid x=1 e x=2
e) x in R mid x=2 e x neq 1
Passo 1
O enunciado define a matriz
A = x & 2 [6pt] 3 & 4
e a matriz
U = A^2 - 3A + 2I
Queremos achar o conjunto de xinR para o qual U é invertível, isto é, det(U)neq0. Para isso usaremos fatoração de polinômio em A e a propriedade multiplicativa do determinante.]
Passo 2
Note que o polinômio lambda^2 - 3lambda + 2 se fatora como (lambda - 1)(lambda - 2). Substituindo lambda por A, obtemos
Para det(A - I)neq0 requer-se xneq3 e para det(A - 2I)neq0 requer-se xneq5. Assim o conjunto de x que torna U invertível é
,xinRmid xneq3 e xneq5,
o que corresponde à alternativa (a).
Resposta
a) xinRmid xneq3 e xneq5
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo Questões de Vestibulares.Questões de Vestibular - Ex. 201