(Unesp-SP) Dadas a matriz A=(llx & 2 3 & 4), com x in R, e a matriz U, definida pela equação U=A^2-3 A+2 I, em que A^2=A cdot A e I é a matriz identidade, então, o conjunto aceitável de valores de x de modo que U seja inversível é:
a) x in R mid x neq 3 e x neq 5
b) x in R mid x neq 1 e x neq 2
c) x in R mid x=3 e x=5
d) x in R mid x=1 e x=2
e) x in R mid x=2 e x neq 1

Passo 1

O enunciado define a matriz
A = x & 2 [6pt] 3 & 4
e a matriz
U = A^2 - 3A + 2I
Queremos achar o conjunto de xinR para o qual U é invertível, isto é, det(U)neq0. Para isso usaremos fatoração de polinômio em A e a propriedade multiplicativa do determinante.]

Passo 2

Note que o polinômio lambda^2 - 3lambda + 2 se fatora como (lambda - 1)(lambda - 2). Substituindo lambda por A, obtemos
U = A^2 - 3A + 2I = (A - I)(A - 2I)

Passo 3

Pela propriedade det(BC)=det(B)det(C), temos
det(U) = det(A - I),det(A - 2I)
Logo U é invertível se, e somente se,
det(A - I)neq0 e det(A - 2I)neq0

Passo 4

Calculamos separadamente as duas determinantes:
A - I = x-1 & 2 [4pt] 3 & 3, det(A - I) = (x-1)cdot3 - 2cdot3 = 3x - 9 = 3(x - 3),
A - 2I = x-2 & 2 [4pt] 3 & 2, det(A - 2I) = (x-2)cdot2 - 2cdot3 = 2x - 10 = 2(x - 5) ]

Passo 5

Para det(A - I)neq0 requer-se xneq3 e para det(A - 2I)neq0 requer-se xneq5. Assim o conjunto de x que torna U invertível é
,xinRmid xneq3 e xneq5,
o que corresponde à alternativa (a).

Resposta

a) xinRmid xneq3 e xneq5

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