(Unesp-SP) O raio da base de um cone é igual ao raio de uma esfera de 256 pi cm^2 de área. A geratriz do cone é 54 do raio. A razão entre o volume do cone e o volume da esfera é:
a) 232
b) 332
c) 632
d) 1232
e) 1832

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos uma esfera cuja área é
Aesfera=256pi
O raio da base do cone vale o mesmo raio desta esfera, e a geratriz do cone é tfrac54 desse raio. Para resolver, vamos usar as fórmulas
Aesfera=4pi r^2,
Vcone=13pi r^2 h,
Vesfera=43pi r^3,
e a relação de Pitágoras para obter a altura h do cone a partir da geratriz ell.

Passo 2

Para achar o raio r da esfera, igual ao raio da base do cone, escrevemos
4pi r^2=256pi
e dividindo por pi obtemos
4r^2=256 Longrightarrow r^2=64 Longrightarrow r=8 cm

Passo 3

No cone, o raio da base é r=8. A geratriz é
ell=54r=54times8=10 cm
Pelo triângulo retângulo formado por ell, r e a altura h, temos
h=raizell^2-r^2 =raiz10^2-8^2 =raiz100-64 =6 cm

Passo 4

Com r=8 e h=6, o volume do cone é
Vcone =13pi r^2 h =13picdot8^2cdot6 =128pi
O volume da esfera é
Vesfera =43pi r^3 =43picdot8^3 =20483pi

Passo 5

A razão entre os volumes é
VconeVesfera =128pitfrac20483pi =128cdot32048 =3842048 =632

Resposta

c) 632

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