(Unesp-SP) Seja C um cone circular reto de altura H e raio R. Qual a altura h, a medir a partir da base, tal que a razão entre os volumes do cone e do tronco de altura h do cone seja 2?
a) (1-raiz2)2 H
b) 2 raiz2 H
c) raiz[3]22 H
d) (1-1raiz[3]2) H

Passo 1

O enunciado dá um cone circular reto de altura H e raio R. Queremos achar a altura h, medida a partir da base, tal que
VconeVtronco = 2
Para isso, usaremos semelhança de triângulos e as fórmulas de volume do cone e do tronco (frustum) de cone.

Passo 2

Pela semelhança entre o triângulo gerador do cone e o triângulo até a seção a uma altura h, o raio do corte a essa altura vale
r = Rl(1 - hHr)

Passo 3

O volume do cone original é
Vcone = 13pi R^2 H,
e o volume do tronco de base R, topo r e altura h é
Vtronco = 13pi,hl(R^2 + R,r + r^2r)
A condição tfracVconeVtronco=2 leva a
R^2 H = 2,hl(R^2 + R,r + r^2r)

Passo 4

Substituindo r=R(1-h/H) e definindo a = h/H, a equação simplifica-se para
1 = 2al(1 + (1 - a) + (1 - a)^2r) =2al(a^2 -3a +3r),
ou seja
2a^3 -6a^2 +6a -1=0

Passo 5

Repare que
a^3 -3a^2 +3a -1 = (a-1)^3,
então
2(a^3 -3a^2 +3a) = 1 Longrightarrow (a-1)^3 = -tfrac12 Longrightarrow a = 1 - raiz[3]tfrac12 =1 - 1raiz[3]2
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h = a,H = l(1 - 1raiz[3]2r)H

Resposta

h = l(1 - 1raiz[3]2r)H (alternativa (d))

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