(Unicamp-2000) Um determinado ano da última década do século XX é representado, na base 10, pelo número abba e um outro, da primeira década do século XXI, é representado, também na base 10, pelo número cddc.
a) Escreva esses dois números.
b) A que século pertencerá o ano representado pela soma abba + cddc ?

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre dois anos palíndromos na base 10: um na última década do século XX (ou seja, entre 1990 e 1999) escrito como abba, e outro na primeira década do século XXI (entre 2001 e 2009) escrito como cddc. Em seguida, devemos somar esses anos e determinar a que século pertence o resultado. Vamos usar a fórmula geral de um número palíndromo de quatro dígitos e a definição de século (século n = anos de (n-1)cdot100+1 até ncdot100).

Passo 2

Um número palíndromo abba vale
1000a + 100b + 10b + a = 1001a + 110b
Como é um ano da última década do século XX, temos a=1 e 1990 <= 1001cdot1 + 110b <= 1999. Logo,
1001 + 110b >= 1990 implies 110b >= 989 implies b >= 9,
e
1001 + 110b <= 1999 implies 110b <= 998 implies b <= 9
Então b=9 e
abba = 1001 + 110cdot9 = 1001 + 990 = 1991

Passo 3

Analogamente, para cddc temos
1001c + 110d,
e por ser um ano da primeira década do século XXI, c=2 e 2001 <= 1001cdot2 + 110d <= 2009. Isto é,
2002 + 110d >= 2001 implies 110d >= -1 implies d >= 0,
2002 + 110d <= 2009 implies 110d <= 7 implies d <= 0
Logo d=0 e
cddc = 2002 + 110cdot0 = 2002

Passo 4

Somando os dois anos:
1991 + 2002 = 3993
Para saber a que século pertence o ano 3993, usamos que o século n vai de (n-1)cdot100+1 até ncdot100. Como
3901 <= 3993 <= 4000,
esse ano está no 40.º século.

Resposta

(a) 1991 e 2002
(b) 40.º século

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