(Uruguai-98) Seja ABCD um quadrilátero cujos vértices estão em uma circunferência, exteriormente ao quadrilátero se formam os retângulos \mathrm{ABTR}, \mathrm{BCJS}, \mathrm{CDUX} e ADYZ de tal forma que \mathrm{BT}=\mathrm{CD}, \mathrm{CJ}=\mathrm{AD}, \mathrm{DU}=\mathrm{AB} ; \mathrm{AZ}=\mathrm{BC}. Demonstrar que o quadrilátero que tem por vértices os centros dos retângulos é também um retângulo.
Passo 1
O enunciado dá um quadrilátero ABCD inscritível numa circunferência (logo \angle A+\angle C=180^\circ e \angle B+\angle D=180^\circ) e constrói externamente, em cada lado, um retângulo cujo lado exterior tem comprimento igual ao do lado oposto do quadrilátero. Em particular, como num quadrilátero cíclico os comprimentos de lados opostos são iguais, temos
AB=CD, \quad BC=DA.
Logo cada “retângulo” construído em AB tem lados AB e BT com BT=CD=AB, isto é, é na verdade um quadrado de lado AB. De modo análogo, os quatro “retângulos” são todos quadrados.
Queremos mostrar que o quadrilátero cujos vértices são os centros desses quatro quadrados é um retângulo. Para isso iremos usar o
Conteúdo: teorema de Van Aubel para quadrados externos a um quadrilátero, que afirma que os segmentos que unem centros de quadrados em lados opostos são iguais e perpendiculares.
Passo 2
Denotemos por
E,\;F,\;G,\;H
os centros dos quadrados construídos sobre, respectivamente, os lados AB,\,BC,\,CD,\,DA.
O teorema de Van Aubel garante que, em qualquer quadrilátero, se erguermos quadrados externamente sobre lados opostos, então os segmentos que unem os centros desses dois quadrados são:
de mesmo comprimento,
perpendiculares entre si.
Aplicando-o aos pares de lados opostos AB–CD e BC–DA, obtemos
Ainda pelo mesmo teorema, esses dois segmentos EG e FH se interceptam num ponto médio comum. Em outras palavras, os dois “diagonais” do quadrilátero EFGH bisecam-se mutuamente.
Passo 4
Qualquer quadrilátero cujas diagonais se bissetam mutuamente é um paralelogramo. Além disso, se essas diagonais forem também iguais em comprimento, então o paralelogramo é um retângulo (num paralelogramo, diagonais iguais \iff ângulos todos retos).
Resposta
Portanto, o quadrilátero cujos vértices são os centros dos quadrados construídos externamente em AB,BC,CD,DA é um paralelogramo de diagonais iguais e perpendiculares, isto é, um retângulo.
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 2 - 3ª Edição - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 119