Usando a lei dos senos, tente determinar os lados e ângulos desconhecidos dos triângulos associados aos dados abaixo. Se existirem duas solucóes, forneca ambas. Dica: esboce os triângulos.
b=33 cm, c=33 cm, B=60^circ

Passo 1

O enunciado dá um triângulo com os seguintes dados:
b = 33 cm (lado oposto a hat B),
c = 33 cm (lado oposto a hat C),
hat B = 60^circ.
Os elementos desconhecidos são o ângulo hat C, o ângulo hat A e o lado a. Para resolver, vamos usar a lei dos senos:
sin Aa ;=;sin Bb;=;sin Cc

Passo 2

Aplicando a parte relevante da lei dos senos para encontrar sin C, temos
sin Cc ;=;sin Bb Longrightarrow sin C ;=;c;sin Bb ;=;33;sin 60^circ33 ;=;sin 60^circ

Passo 3

A equação sin C = sin 60^circ admite duas soluções principais em [0,180^circ]:
C1 = 60^circ ou C2 = 180^circ - 60^circ = 120^circ

Passo 4

Calculemos hat A = 180^circ - hat B - hat C para cada caso:
  • Caso 1: hat C = 60^circ hat A = 180^circ - 60^circ - 60^circ = 60^circ
  • Caso 2: hat C = 120^circ hat A = 180^circ - 60^circ - 120^circ = 0^circ

Passo 5

Agora usamos de novo a lei dos senos para achar a:
asin A = bsin B Longrightarrow a = b,sin Asin B
  • Caso 1 ( A=60^circ): a = 33,sin 60^circsin 60^circ = 33 cm
  • Caso 2 ( A=0^circ): a = 33,sin 0^circsin 60^circ = 0 cm

Passo 6

O segundo caso dá hat A=0^circ e a=0, o que corresponde a um triângulo degenerado (colapsado). Logo, a única solução não degenerada é a do Caso 1, em que todos os ângulos são 60^circ e todos os lados medem 33 cm.

Resposta

Caso 1 (triângulo não degenerado):
hat A = 60^circ, hat B = 60^circ, hat C = 60^circ e
a = b = c = 33 cm.
Caso 2 (degenerado):
hat A = 0^circ, hat B = 60^circ, hat C = 120^circ e
a = 0 cm.

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