Usando a lei dos senos, tente determinar os lados e ângulos desconhecidos dos triângulos associados aos dados abaixo. Se existirem duas solucóes, forneca ambas. Dica: esboce os triângulos.
c=120 cm, b=60 cm, C=130^circ

Passo 1

O enunciado dá um triângulo qualquer com os dados
c = 120, b = 60, hat C = 130^circ
e pede os demais ângulos hat A,hat B e o lado a. Vamos usar a lei dos senos
asinhat A ;=; bsinhat B ;=; csinhat C
e verificar se há caso ambíguo (duas soluções) para hat B.

Passo 2

Da lei dos senos, isolamos sinhat B:
bsinhat B ;=;csinhat C Longrightarrow sinhat B = bc,sinhat C = 60120,sin(130^circ) = tfrac12,sin(130^circ)
Como sin(130^circ)=sin(50^circ),
sinhat B = tfrac12,sin(50^circ)approx 0,5cdot0,7660=0,3830

Passo 3

Obtemos duas soluções para hat B:
hat B1 = arcsin(0,3830)approx22,5^circ, hat B2 = 180^circ -22,5^circ =157,5^circ

Passo 4

Para cada hat Bi calculamos hat Ai = 180^circ - hat Bi - hat C:
  • Se hat B1=22,5^circ, então
    hat A1=180^circ-130^circ-22,5^circ=27,5^circ (válido).
  • Se hat B2=157,5^circ, então
    hat A2=180^circ-130^circ-157,5^circ=-107,5^circ (impossível).
Logo há apenas uma solução real: hat B=22,5^circ, hat A=27,5^circ.

Passo 5

Para achar a usamos novamente a lei dos senos com hat A=27,5^circ:
asin(27,5^circ) = csin(130^circ) Longrightarrow a = sin(27,5^circ)sin(130^circ);120 approx 0,46230,7660;120approx72,4

Resposta

hat A=27,5^circ, hat B=22,5^circ, aapprox72,4 cm

Exercícios de Livros Relacionados