Sem usar calculadora, determine sen(8 pi / 3), cos (8 pi / 3) e tan (8 pi / 3).

Passo 1

O enunciado pede para calcular sen(8pi/3), cos(8pi/3) e tan(8pi/3) sem calculadora. O conteúdo envolvido é a periodicidade das funções trigonométricas e o uso de ângulo de referência para valores no círculo trigonométrico.

Passo 2

Como todas essas funções têm período 2pi, reduzo
8pi/3 = 2pi + 2pi/3
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sen(8pi/3)=sen(2pi+2pi/3), cos(8pi/3)=cos(2pi+2pi/3), tan(8pi/3)=tan(2pi+2pi/3)

Passo 3

Pela periodicidade sen(theta+2pi)=sentheta e cos(theta+2pi)=costheta, temos
sen(8pi/3)=sen(2pi/3), cos(8pi/3)=cos(2pi/3)
O ângulo 2pi/3 está no segundo quadrante, onde seno é positivo e cosseno é negativo.

Passo 4

Para 2pi/3 = pi - pi/3 usamos o ângulo de referência pi/3:
sen(2pi/3)=sen(pi-pi/3)=sen(pi/3)=raiz32,
cos(2pi/3)=cos(pi-pi/3)=-cos(pi/3)=-12

Passo 5

Finalmente,
tan(8pi/3)=tan(2pi/3)=sen(2pi/3)cos(2pi/3) =tfracraiz32-tfrac12=-raiz3

Resposta

sen(8pi/3)=dfracraiz32, cos(8pi/3)=-dfrac12, tan(8pi/3)=-raiz3

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