Use coordenadas cilíndricas.
Ache o volume do sólido limitado pelo parabolóide x^{2}+y^{2}+z=12 e pelo plano z=8.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo paraboloide
x^{2}+y^{2}+z=12
e pelo plano z=8. Vamos usar coordenadas cilíndricas, em que
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
e o elemento de volume é dV = r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas o paraboloide fica
z = 12 - r^{2},
e o plano é z=8. A região existe onde
8 \le 12 - r^{2} \quad\Longrightarrow\quad r^{2} \le 4 \quad\Longrightarrow\quad 0 \le r \le 2,
com \theta variando de 0 a 2\pi.

Passo 3

O volume é dado pelo integral triplo
V = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{z=8}^{\,z=12 - r^{2}} r \,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integramos primeiro em z:
\int_{8}^{12 - r^{2}} r\,dz = r\bigl[(12 - r^{2}) - 8\bigr] = r\,(4 - r^{2}) = 4r - r^{3}.
Então o integral em r é
\int_{0}^{2}(4r - r^{3})\,dr = \left[2r^{2} - \frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = \bigl(2\cdot4 - \tfrac{16}{4}\bigr) = 8 - 4 = 4.

Passo 5

Por fim, integramos em \theta:
V = \int_{0}^{2\pi}4\,d\theta = 4\bigl[\,\theta\,\bigr]_{0}^{2\pi} = 4\cdot2\pi = 8\pi.

Resposta

O volume do sólido é V = 8\pi.

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