Use a eliminação de Gauss para determinar todas as soluções para o sistema de equações dado.
2 r+5 w=1
r-4 w=7

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de duas equações e duas incógnitas r\) e \(w\): \[\begin{cases} 2r + 5w = 1,\\\ r - 4w = 7. \end{cases}
Aqui usamos eliminação de Gauss: montamos a matriz aumentada, aplicamos operações elementares (troca de linhas e eliminação) e depois fazemos substituição para encontrar r\] e \(w.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada correspondente ao sistema:
\begin{pmatrix} 2 & 5 & 1\\\\ 1 & -4 & 7 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para ter um pivô igual a 1 na primeira linha, trocamos a primeira linha com a segunda:
\begin{pmatrix} 1 & -4 & 7\\\\ 2 & 5 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Eliminamos o coeficiente abaixo do pivô usando L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1:
\begin{pmatrix} 1 & -4 & 7\\\\ 0 & 13 & -13 \end{pmatrix}.
Da segunda linha vem 13w = -13, logo
w = -1.

Passo 5

Substituímos w = -1 na primeira equação original r - 4w = 7:
r - 4(-1) = 7 \quad\Longrightarrow\quad r + 4 = 7 \quad\Longrightarrow\quad r = 3.

Resposta

r = 3 e w = -1

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