*34. Use a indução matemática para demonstrar que se x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} forem números reais positivos com n \geq 2, então
\begin{aligned} & \left(x_{1}+\frac{1}{x_{1}}\right)\left(x_{2}+\frac{1}{x_{2}}\right) \ldots\left(x_{n}+\frac{1}{x_{n}}\right) \geq \\ & \quad\left(x_{1}+\frac{1}{x_{2}}\right)\left(x_{2}+\frac{1}{x_{3}}\right) \ldots\left(x_{n-1}+\frac{1}{x_{n}}\right)\left(x_{n}+\frac{1}{x_{1}}\right) \end{aligned}

Passo 1

Resumo do enunciado. Queremos mostrar, por indução em n\ge2, que, para quaisquer reais positivos \,x_{1},x_{2},\dots,x_{n}, vale
P_{n}\;\equiv\;\prod_{i=1}^{n}\Bigl(x_{i}+\tfrac1{x_{i}}\Bigr) \;\ge\; \prod_{i=1}^{n}\Bigl(x_{i}+\tfrac1{x_{i+1}}\Bigr) \;=\;Q_{n},
onde, por convenção cíclica, x_{n+1}=x_{1}.
Conteúdo: prova por indução matemática. Vamos primeiro estabelecer o caso base n=2, depois n=3, e então o passo indutivo de n para n+1, usando os casos já provados.

Passo 2

Base n=2. Temos
P_{2}=(x_{1}+\tfrac1{x_{1}})(x_{2}+\tfrac1{x_{2}}) \quad\text{e}\quad Q_{2}=(x_{1}+\tfrac1{x_{2}})(x_{2}+\tfrac1{x_{1}}).
Observe que
P_{2}-Q_{2} =\Bigl(x_{1}+\tfrac1{x_{1}}\Bigr)\Bigl(x_{2}+\tfrac1{x_{2}}\Bigr) -\Bigl(x_{1}+\tfrac1{x_{2}}\Bigr)\Bigl(x_{2}+\tfrac1{x_{1}}\Bigr) =(x_{1}-x_{2})\Bigl(\tfrac1{x_{1}}-\tfrac1{x_{2}}\Bigr)\ge0,
pois (x_{1}-x_{2})(1/x_{1}-1/x_{2})\ge0 para x_{1},x_{2}>0. Logo P_{2}\ge Q_{2}.

Passo 3

Caso n=3. Precisamos mostrar
(x_{1}+\tfrac1{x_{1}})(x_{2}+\tfrac1{x_{2}})(x_{3}+\tfrac1{x_{3}}) \;\ge\; (x_{1}+\tfrac1{x_{2}})(x_{2}+\tfrac1{x_{3}})(x_{3}+\tfrac1{x_{1}}).
Aplicamos o caso n=2 duas vezes:
  1. Em (x_{2},x_{3}): (x_{2}+\tfrac1{x_{2}})(x_{3}+\tfrac1{x_{3}}) \ge(x_{2}+\tfrac1{x_{3}})(x_{3}+\tfrac1{x_{2}}).
    Multiplicando por (x_{1}+\tfrac1{x_{1}}) vem
(x_{1}+\tfrac1{x_{1}})(x_{2}+\tfrac1{x_{2}})(x_{3}+\tfrac1{x_{3}}) \;\ge\; (x_{1}+\tfrac1{x_{1}})(x_{2}+\tfrac1{x_{3}})(x_{3}+\tfrac1{x_{2}}).
  1. Em (x_{1},x_{3}): (x_{1}+\tfrac1{x_{1}})(x_{3}+\tfrac1{x_{2}}) \ge(x_{1}+\tfrac1{x_{2}})(x_{3}+\tfrac1{x_{1}}).
    Multiplicando por (x_{2}+\tfrac1{x_{3}}) dá exatamente
(x_{1}+\tfrac1{x_{1}})(x_{2}+\tfrac1{x_{2}})(x_{3}+\tfrac1{x_{3}}) \;\ge\; (x_{1}+\tfrac1{x_{2}})(x_{2}+\tfrac1{x_{3}})(x_{3}+\tfrac1{x_{1}}).
Logo o caso n=3 está estabelecido.

Passo 4

Passo indutivo. Suponha que a desigualdade valha para n variáveis, isto é, P_{n}\ge Q_{n}. Queremos mostrar P_{n+1}\ge Q_{n+1}. Note que
P_{n+1} = P_{n}\,\bigl(x_{n+1}+\tfrac1{x_{n+1}}\bigr) \quad\text{e}\quad Q_{n+1} = Q_{n}\,\frac{(x_{n}+\tfrac1{x_{n+1}})(x_{n+1}+\tfrac1{x_{1}})}{(x_{n}+\tfrac1{x_{1}})}.
Pela hipótese de indução P_{n}\ge Q_{n}, basta então provar que
\bigl(x_{n+1}+\tfrac1{x_{n+1}}\bigr) \ge \frac{(x_{n}+\tfrac1{x_{n+1}})(x_{n+1}+\tfrac1{x_{1}})}{(x_{n}+\tfrac1{x_{1}})}. \tag{\(*\)}
Mas a desigualdade (*) é exatamente o caso n=3 aplicado ao triplo (x_{n},x_{n+1},x_{1}), juntando
(x_{n}+\tfrac1{x_{n}})(x_{n+1}+\tfrac1{x_{n+1}})(x_{1}+\tfrac1{x_{1}}) \;\ge\; (x_{n}+\tfrac1{x_{n+1}})(x_{n+1}+\tfrac1{x_{1}})(x_{1}+\tfrac1{x_{n}}),
e dividindo ambos os lados por (x_{n}+\tfrac1{x_{n}})(x_{1}+\tfrac1{x_{n}})>0. Concluímos então P_{n+1}\ge Q_{n+1}.

Resposta

A desigualdade
\prod_{i=1}^{n}\Bigl(x_{i}+\tfrac1{x_{i}}\Bigr) \;\ge\; \prod_{i=1}^{n}\Bigl(x_{i}+\tfrac1{x_{i+1}}\Bigr)
vale para todo n\ge2 por indução matemática.

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