*24. Use a indução matemática para mostrar que
sempre que
for um número inteiro positivo e
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução em
, que
sempre que
é inteiro positivo e
.
Usaremos o princípio da indução (caso base e passo indutivo) e, no passo indutivo, aplicaremos identidades soma-para-produto do tipo
Usaremos o princípio da indução (caso base e passo indutivo) e, no passo indutivo, aplicaremos identidades soma-para-produto do tipo
Passo 2
Caso base
. Nesta situação
Por outro lado, a fórmula dá
Logo o caso base está OK.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para algum
valha
Passo 4
Queremos mostrar que então
satisfaz a mesma fórmula com
trocado por
. Escrevendo
e usando a hipótese de indução, obtemos
Colocando over o mesmo denominador
,
No numerador aplicamos duas vezes
, com
-
, -
.
Somando os resultados, chega-se a
para o numerador, que é exatamente
pela mesma identidade soma-para-produto. Concluímos então
o que fecha o passo indutivo.
Resposta
Por indução, a identidade
vale para todo inteiro
sempre que
.