*24. Use a indução matemática para mostrar que \sum_{j=1}^{n} \cos j x= \cos [(n+1) x / 2] \operatorname{sen}(n x / 2) / \operatorname{sen}(x / 2) sempre que n for um número inteiro positivo e \operatorname{sen}(x / 2) \neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n, que
\sum_{j=1}^{n}\cos(jx) =\frac{\cos\bigl(\tfrac{(n+1)x}{2}\bigr)\,\sin\bigl(\tfrac{n x}{2}\bigr)}{\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}
sempre que n é inteiro positivo e \sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\neq0.
Usaremos o princípio da indução (caso base e passo indutivo) e, no passo indutivo, aplicaremos identidades soma-para-produto do tipo
\sin A\cos B=\tfrac12\bigl[\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr].

Passo 2

Caso base n=1. Nesta situação
\sum_{j=1}^{1}\cos(jx)=\cos x.
Por outro lado, a fórmula dá
\frac{\cos\bigl(\tfrac{2x}{2}\bigr)\,\sin\bigl(\tfrac{1\cdot x}{2}\bigr)}{\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)} =\frac{\cos x\,\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)} =\cos x.
Logo o caso base está OK.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum n\ge1 valha
\sum_{j=1}^{n}\cos(jx) =\frac{\cos\bigl(\tfrac{(n+1)x}{2}\bigr)\,\sin\bigl(\tfrac{n x}{2}\bigr)}{\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}.

Passo 4

Queremos mostrar que então \sum_{j=1}^{n+1}\cos(jx) satisfaz a mesma fórmula com n trocado por n+1. Escrevendo
\sum_{j=1}^{n+1}\cos(jx) =\Bigl(\sum_{j=1}^{n}\cos(jx)\Bigr)+\cos\bigl((n+1)x\bigr)
e usando a hipótese de indução, obtemos
\sum_{j=1}^{n+1}\cos(jx) =\frac{\cos\bigl(\tfrac{(n+1)x}{2}\bigr)\,\sin\bigl(\tfrac{n x}{2}\bigr)}{\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)} +\cos\bigl((n+1)x\bigr).
Colocando over o mesmo denominador \sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr),
\sum_{j=1}^{n+1}\cos(jx) =\frac{\cos\bigl(\tfrac{(n+1)x}{2}\bigr)\,\sin\bigl(\tfrac{n x}{2}\bigr) +\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\,\cos\bigl((n+1)x\bigr)} {\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}.
No numerador aplicamos duas vezes \sin A\cos B=\tfrac12[\sin(A+B)+\sin(A-B)], com
  1. A=\tfrac{n x}{2},\,B=\tfrac{(n+1)x}{2},
  2. A=\tfrac{x}{2},\,B=(n+1)x.
    Somando os resultados, chega-se a
\frac12\bigl[\sin\bigl(\tfrac{(2n+3)x}{2}\bigr)-\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\bigr]
para o numerador, que é exatamente
\cos\bigl(\tfrac{(n+2)x}{2}\bigr)\,\sin\bigl(\tfrac{(n+1)x}{2}\bigr)
pela mesma identidade soma-para-produto. Concluímos então
\sum_{j=1}^{n+1}\cos(jx) =\frac{\cos\bigl(\tfrac{(n+2)x}{2}\bigr)\,\sin\bigl(\tfrac{(n+1)x}{2}\bigr)} {\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)},
o que fecha o passo indutivo.

Resposta

Por indução, a identidade
\sum_{j=1}^{n}\cos(jx) =\frac{\cos\bigl(\tfrac{(n+1)x}{2}\bigr)\,\sin\bigl(\tfrac{n x}{2}\bigr)}% {\sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}
vale para todo inteiro n\ge1 sempre que \sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\neq0.

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