Utilizando o teorema de Rouché-Capelli, classifique e resolva os seguintes sistemas:
r -2 x+y+z=1 x-2 y+z=1 x+y-2 z=1

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
-2x + y + z = 1, x - 2y + z = 1, x + y - 2z = 1,
e pede para usar o Teorema de Rouché-Capelli para classificar (existência/unicidade de soluções) e, se existir, resolver. O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares, determinantes e posto (rank) de matriz.

Passo 2

Vamos montar a matriz de coeficientes A e a matriz aumentada [Amid b], onde b=(1,1,1)^T.
A = -2 & 1 & 1 1 & -2 & 1 1 & 1 & -2 , [Amid b] = (ccc|c -2 & 1 & 1 & 1 1 & -2 & 1 & 1 1 & 1 & -2 & 1 )

Passo 3

Para saber se calculamos . Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofactores:
Como , o posto não é . Para ver se é ou menor, tomamos um menor principal de ordem , por exemplo
Logo .

Passo 4

Agora vamos ver o posto da matriz aumentada. Se for maior que , o sistema é incompatível. Note que somando as três equações originais:
chegamos a , o que é impossível. Isso mostra que a terceira linha de não é combinação linear das duas primeiras, ou seja,
.

Passo 5

Pelo Teorema de Rouché-Capelli, como
têm-se , logo o sistema é incompatível e não admite soluções.

Resposta

O sistema é incompatível (sem solução).

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