Utilizando o teorema de Rouché-Capelli, classifique e resolva os seguintes sistemas:
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear
-2x + y + z = 1, x - 2y + z = 1, x + y - 2z = 1,
e pede para usar o Teorema de Rouché-Capelli para classificar (existência/unicidade de soluções) e, se existir, resolver. O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares, determinantes e posto (rank) de matriz.
Passo 2
Vamos montar a matriz de coeficientes A e a matriz aumentada [Amid b], onde b=(1,1,1)^T.
Para saber se calculamos . Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofactores:
Como , o posto não é . Para ver se é ou menor, tomamos um menor principal de ordem , por exemplo
Logo .
Passo 4
Agora vamos ver o posto da matriz aumentada. Se for maior que , o sistema é incompatível. Note que somando as três equações originais:
chegamos a , o que é impossível. Isso mostra que a terceira linha de não é combinação linear das duas primeiras, ou seja,
.
Passo 5
Pelo Teorema de Rouché-Capelli, como
têm-se , logo o sistema é incompatível e não admite soluções.
Resposta
O sistema é incompatível (sem solução).
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 438.e