Utilizando o teorema de Rouché-Capelli, classifique os seguintes sistemas:
Passo 1
O enunciado apresenta um sistema de três equações lineares em duas incógnitas x e y. Queremos classificar se ele é possível e determinado (solução única), possível e indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (sem solução). Para isso vamos usar o Teorema de Rouché– Capelli, que diz que: 1. O sistema tem solução Leftrightarrowrank(A)=rank([Amid b]). 2. Se houver solução e rank(A)= número de incógnitas, a solução é única; se rank(A)< número de incógnitas, há infinitas soluções.
Passo 2
Formamos a matriz dos coeficientes A e a matriz aumentada [Amid b] a partir das equações
Calculamos rank(A). As duas primeiras linhas de A, (1,1) e (1,-1), são claramente linearmente independentes. A terceira linha (1,1) é igual à primeira, logo não aumenta o posto. Portanto
rank(A)=2
Passo 4
Calculamos
essa combinação levaria ao sistema
que não admite solução (as duas primeiras equações dão , mas isso não satisfaz ). Logo as três linhas são independentes e
Passo 5
Como rank(A)=2 é diferente de rank([Amid b])=3, pelo Teorema de Rouché–Capelli o sistema é incompatível, isto é, não tem solução.
Resposta
O sistema é incompatível (sem solução).
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 439.b