Utilizando o teorema de Rouché-Capelli, classifique os seguintes sistemas:
rrx+y= & 2 x-y= & 1 x+y= & -1

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema de três equações lineares em duas incógnitas x e y. Queremos classificar se ele é possível e determinado (solução única), possível e indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (sem solução). Para isso vamos usar o Teorema de Rouché– Capelli, que diz que:
1. O sistema tem solução Leftrightarrow rank(A)=rank([Amid b]).
2. Se houver solução e rank(A)= número de incógnitas, a solução é única; se rank(A)< número de incógnitas, há infinitas soluções.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes A e a matriz aumentada [Amid b] a partir das equações
x + y = 2, x - y = 1, x + y = -1
A = 1 & 1 1 & -1 1 & 1 , [Amid b] = 1 & 1 & 2 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1

Passo 3

Calculamos rank(A). As duas primeiras linhas de A,
(1,1) e (1,-1), são claramente linearmente independentes. A terceira linha (1,1) é igual à primeira, logo não aumenta o posto. Portanto
rank(A)=2

Passo 4

Calculamos
essa combinação levaria ao sistema
que não admite solução (as duas primeiras equações dão , mas isso não satisfaz ). Logo as três linhas são independentes e

Passo 5

Como rank(A)=2 é diferente de rank([Amid b])=3, pelo Teorema de Rouché–Capelli o sistema é incompatível, isto é, não tem solução.

Resposta

O sistema é incompatível (sem solução).

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