Utilize as funções generalizadas para determinar o número de maneiras em que 10 balões idênticos podem ser distribuídos entre quatro crianças, se cada criança receber, pelo menos, dois balões.
Passo 1
O enunciado pede: de quantas maneiras podemos distribuir 10 balões idênticos entre quatro crianças, se cada criança receber, pelo menos, dois balões? O conteúdo aqui é o uso de funções geradoras (ou “generating functions”) para contar distribuições com restrições.
Passo 2
Para modelar cada criança, vemos que ela pode receber
balões. A função geradora de uma criança é
Passo 3
Como as quatro crianças recebem balões independentemente, a função geradora total é
Passo 4
A quantidade que queremos é o coeficiente de
em
. Note que
então o coeficiente de
em
é o coeficiente de
em
. Pela expansão de Newton generalizado,
Para
isso dá