Utilize as funções generalizadas para determinar o número de maneiras em que 10 balões idênticos podem ser distribuídos entre quatro crianças, se cada criança receber, pelo menos, dois balões.

Passo 1

O enunciado pede: de quantas maneiras podemos distribuir 10 balões idênticos entre quatro crianças, se cada criança receber, pelo menos, dois balões? O conteúdo aqui é o uso de funções geradoras (ou “generating functions”) para contar distribuições com restrições.

Passo 2

Para modelar cada criança, vemos que ela pode receber 2,3,4,\dots balões. A função geradora de uma criança é
G_i(x)=x^2+x^3+x^4+\cdots=\frac{x^2}{1-x}.

Passo 3

Como as quatro crianças recebem balões independentemente, a função geradora total é
G(x)=\bigl(G_i(x)\bigr)^4=\Bigl(\frac{x^2}{1-x}\Bigr)^4 =x^8\,(1-x)^{-4}.

Passo 4

A quantidade que queremos é o coeficiente de x^{10} em G(x). Note que
G(x)=x^8\,(1-x)^{-4},
então o coeficiente de x^{10} em G(x) é o coeficiente de x^2 em (1-x)^{-4}. Pela expansão de Newton generalizado,
(1-x)^{-4}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{4+k-1}{k}x^k =\sum_{k=0}^{\infty}\binom{k+3}{k}x^k.
Para k=2 isso dá
\binom{2+3}{2}=\binom{5}{2}=10.

Resposta

10 maneiras.

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