Utilize funções generalizadas para resolver a relação de recorrência
com a condição inicial
.
Passo 1
O enunciado pede a solução em forma fechada da recorrência de primeira ordem
usando funções geradoras (gerating functions). Vamos definir a função geradora, montar a equação para ela e extrair o termo geral
.
Passo 2
Definimos a função geradora
Queremos expressar
usando a recorrência dada.
Passo 3
Multiplicamos a recorrência por
e somamos para
:
Passo 4
Reconhecendo as séries em termos de
:
Substituindo na soma do passo anterior:
Passo 5
Como
, reescrevemos e isolamos
:
Logo,
Passo 6
Fazemos a decomposição em frações parciais:
Temos
Tomando
dá
. Tomando
dá
. Assim
Passo 7
Cada termo se expande em série de potências:
Somando termos iguais de
, obtemos
Passo 8
Pelo desenvolvimento em série, o coeficiente de
é