Utilize funções generalizadas para resolver a relação de recorrência a_{k}=3 a_{k-1}+2 com a condição inicial a_{0}=1.

Passo 1

O enunciado pede a solução em forma fechada da recorrência de primeira ordem
a_{k}=3\,a_{k-1}+2,\quad a_{0}=1
usando funções geradoras (gerating functions). Vamos definir a função geradora, montar a equação para ela e extrair o termo geral a_{k}.

Passo 2

Definimos a função geradora
A(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\,x^{k}.
Queremos expressar A(x) usando a recorrência dada.

Passo 3

Multiplicamos a recorrência por x^{k} e somamos para k\ge1:
\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}\,x^{k} =3\sum_{k=1}^{\infty}a_{k-1}\,x^{k} +2\sum_{k=1}^{\infty}x^{k}.

Passo 4

Reconhecendo as séries em termos de A(x):
\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}\,x^{k}=A(x)-a_{0}, \quad \sum_{k=1}^{\infty}a_{k-1}\,x^{k}=x\,A(x), \quad \sum_{k=1}^{\infty}x^{k}=\frac{x}{1-x}.
Substituindo na soma do passo anterior:
A(x)-a_{0} =3\,x\,A(x) +2\frac{x}{1-x}.

Passo 5

Como a_{0}=1, reescrevemos e isolamos A(x):
A(x)-1 =3x\,A(x)+\frac{2x}{1-x} \quad\Longrightarrow\quad A(x)\,(1-3x) =1+\frac{2x}{1-x} =\frac{1-x+2x}{1-x} =\frac{1+x}{1-x}.
Logo,
A(x)=\frac{1+x}{(1-x)(1-3x)}.

Passo 6

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{1+x}{(1-x)(1-3x)} =\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1-3x}.
Temos
A(1-3x)+B(1-x)=1+x.
Tomando x=1 -2A=2\implies A=-1. Tomando x=\tfrac13 \tfrac23B=\tfrac43\implies B=2. Assim
A(x) =-\frac{1}{1-x}+\frac{2}{1-3x}.

Passo 7

Cada termo se expande em série de potências:
-\frac{1}{1-x}=-\sum_{k=0}^{\infty}x^{k}, \quad \frac{2}{1-3x}=2\sum_{k=0}^{\infty}(3x)^{k} = \sum_{k=0}^{\infty}2\cdot3^{k}x^{k}.
Somando termos iguais de x^{k}, obtemos
A(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\bigl(-1+2\cdot3^{k}\bigr)x^{k}.

Passo 8

Pelo desenvolvimento em série, o coeficiente de x^{k} é
a_{k}=-1+2\cdot3^{k}.

Resposta

\boxed{a_{k}=2\cdot3^{k}-1.}

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