Utilize funções generalizadas para resolver a relação de recorrência
com condições iniciais
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá a relação de recorrência
com condições iniciais
e
.
O conteúdo aqui é resolução de recorrência não homogênea usando funções geradoras.
Para resolver, vamos definir a função geradora ordinária
O conteúdo aqui é resolução de recorrência não homogênea usando funções geradoras.
Para resolver, vamos definir a função geradora ordinária
e transformar a recorrência em uma equação para
.
Passo 2
Multiplicamos a recorrência por
e somamos para
:
Agora expressamos cada soma em termos de
e das condições iniciais:
-
. -
. -
. - A função geradora de
é
logo
.
Passo 3
Substituindo essas expressões na soma dá
Reagrupando termos em
e os demais, obtemos
Passo 4
Note que
. Portanto
Passo 5
Fazemos a decomposição em frações parciais do tipo
onde
e
.
Resolvendo o sistema para chegamos a
Resolvendo o sistema para
Passo 6
Invertemos cada parcela:
-
gera o termo polinomial
-
gera
Passo 7
Somando as duas partes, a solução geral é