Utilize funções generalizadas para resolver a relação de recorrência a_{k}=4 a_{k-1}-4 a_{k-2}+k^{2} com condições iniciais a_{0}=2 e a_{1}=5.

Passo 1

O enunciado nos dá a relação de recorrência
a_{k}=4\,a_{k-1}-4\,a_{k-2}+k^{2}
com condições iniciais \,a_{0}=2 e \,a_{1}=5.
O conteúdo aqui é resolução de recorrência não homogênea usando funções geradoras.
Para resolver, vamos definir a função geradora ordinária
A(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\,x^{k}
e transformar a recorrência em uma equação para A(x).

Passo 2

Multiplicamos a recorrência por x^{k} e somamos para k\ge2:
\sum_{k=2}^\infty a_{k}x^{k} =4\sum_{k=2}^\infty a_{k-1}x^{k} -4\sum_{k=2}^\infty a_{k-2}x^{k} +\sum_{k=2}^\infty k^{2}x^{k}.
Agora expressamos cada soma em termos de A(x) e das condições iniciais:
  • \displaystyle \sum_{k=2}^\infty a_{k}x^{k}=A(x)-a_{0}-a_{1}x.
  • \displaystyle \sum_{k=2}^\infty a_{k-1}x^{k} =x\sum_{j=1}^\infty a_{j}x^{j} =x\bigl(A(x)-a_{0}\bigr).
  • \displaystyle \sum_{k=2}^\infty a_{k-2}x^{k} =x^{2}A(x).
  • A função geradora de k^{2} é
\sum_{k=0}^\infty k^{2}x^{k} =\frac{x(1+x)}{(1-x)^{3}}
logo \sum_{k=2}^\infty k^{2}x^{k} =\frac{x(1+x)}{(1-x)^{3}}-x.

Passo 3

Substituindo essas expressões na soma dá
A(x)-2-5x =4x\bigl(A(x)-2\bigr) -4x^{2}A(x) +\frac{x(1+x)}{(1-x)^{3}}-x.
Reagrupando termos em A(x) e os demais, obtemos
A(x)\,\bigl(1-4x+4x^{2}\bigr) =2-4x+\frac{x(1+x)}{(1-x)^{3}}.

Passo 4

Note que 1-4x+4x^{2}=(1-2x)^{2}. Portanto
A(x) =\frac{2-4x+\dfrac{x(1+x)}{(1-x)^{3}}}{(1-2x)^{2}} =\frac{2-9x+19x^{2}-14x^{3}+4x^{4}}{(1-x)^{3}(1-2x)^{2}}.

Passo 5

Fazemos a decomposição em frações parciais do tipo
\frac{2-9x+19x^{2}-14x^{3}+4x^{4}}{(1-x)^{3}(1-2x)^{2}} =\frac{U(x)}{(1-x)^{3}}+\frac{V(x)}{(1-2x)^{2}},
onde U(x)=a+bx+cx^{2} e V(x)=d+ex.
Resolvendo o sistema para a,b,c,d,e chegamos a
U(x)=20-31x+13x^{2}, \quad V(x)=-18+48x.

Passo 6

Invertemos cada parcela:
  1. \displaystyle \frac{U(x)}{(1-x)^{3}} gera o termo polinomial
k^{2}+8k+20.
  1. \displaystyle \frac{V(x)}{(1-2x)^{2}} =-18\frac{1}{(1-2x)^{2}}+48\frac{x}{(1-2x)^{2}} gera
-18(k+1)2^{k}+48\,k\,2^{\,k-1} =(6k-18)2^{k}.

Passo 7

Somando as duas partes, a solução geral é
a_{k} =(6k-18)2^{k} +\bigl(k^{2}+8k+20\bigr).

Resposta

\boxed{a_{k}=(6k-18)2^{k}+k^{2}+8k+20.}

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