Qual o valor do determinante associado à matriz
ccc sen^2 x & sen^2 x & 0 cos ^2 x & cos ^2 y & sen^2 y r^2 & 0 & r^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante de uma matriz 3times3 cujas entradas envolvem sin^2x, cos^2x, sin^2y, cos^2y e r^2. O conteúdo é cálculo de determinante de matriz 3times3, que vamos fazer usando a fórmula
det A = a(e,k - f,h) ;-; b(d,k - f,g);+;c(d,h - e,g)
expandindo pela primeira linha.

Passo 2

Identificamos as entradas da matriz
A = a & b & c d & e & f g & h & k = sin^2x & sin^2x & 0 cos^2x & cos^2y & sin^2y r^2 & 0 & r^2
ou seja
a = sin^2x,; b = sin^2x,; c = 0,
d = cos^2x,; e = cos^2y,; f = sin^2y,
g = r^2,; h = 0,; k = r^2

Passo 3

Aplicando a fórmula:
a(e,k - f,h) = sin^2x,l(cos^2ycdot r^2 - sin^2ycdot 0r) = r^2,sin^2x,cos^2y,
b(d,k - f,g) = sin^2x,l(cos^2xcdot r^2 - sin^2ycdot r^2r) = r^2,sin^2x,(cos^2x - sin^2y),
e como c=0 o terceiro termo é zero. Então
det A = r^2,sin^2x,cos^2y ;-; r^2,sin^2x,(cos^2x - sin^2y)

Passo 4

Usamos cos^2y + sin^2y = 1 e cos^2x = 1 - sin^2x para simplificar:
det A = r^2,sin^2x l[cos^2y - cos^2x + sin^2yr] = r^2,sin^2x l[1 - cos^2xr] = r^2,sin^2x;sin^2x = r^2,sin^4x

Resposta

det A = r^2,sin^4x

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