Para que valores de m e k a equação m x^2+y^2+4 x-6 y+k=0 representa uma circunferência?

Solução

A=B Rightarrow m=1
D^2+E^2-4 AF>0 Rightarrow 16+36-4 mk>0 Rightarrow 16+36>4 k Rightarrow
Rightarrow k<524 Rightarrow k<13
Resposta: m=1 e k<13.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de segundo grau
m x^2 + y^2 + 4 x - 6 y + k = 0
Queremos que isso seja uma circunferência. Na forma geral
A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0
identificamos
A = m, B = 0, C = 1, D = 4, E = -6, F = k

Passo 2

Para ser circunferência, não pode haver termo misto ( B=0 já vale) e precisa ter
A = C
Logo, devemos ter
m = 1

Passo 3

Também é preciso que o raio seja real e positivo. A fórmula do raio ao completar quadrados dá
r^2 = D^2 + E^2 - 4 A F4 A^2 > 0,
ou seja
D^2 + E^2 - 4 A F > 0
Substituindo A=1, D=4, E=-6 e F=k, vem
4^2 + (-6)^2 - 4cdot1cdot k > 0 ;Longrightarrow; 16 + 36 - 4k > 0 ;Longrightarrow; 52 > 4k ;Longrightarrow; k < 13

Resposta

m = 1 e k < 13.

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