Valores de Funções Especiais. Encontre os valores de
\tan (1+i)

Passo 1

O enunciado pede o valor de \tan(1+i), ou seja, a tangente de um número complexo. Para resolver, vamos usar a definição
\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}
e as fórmulas de seno e cosseno de argumento complexo, que envolvem funções hiperbólicas.

Passo 2

Lembrando as identidades para a,b\in\mathbb{R}:
\sin(a+ib)=\sin a\operatorname{cosh} b + i\cos a\operatorname{sinh} b,
\cos(a+ib)=\cos a\operatorname{cosh} b - i\sin a\operatorname{sinh} b.

Passo 3

No nosso caso, a=1 e b=1. Logo,
\sin(1+i)=\sin1\cosh1 + i\cos1\sinh1,
\cos(1+i)=\cos1\cosh1 - i\sin1\sinh1.

Passo 4

Formamos a razão
\tan(1+i) =\frac{\sin(1+i)}{\cos(1+i)} =\frac{\sin1\cosh1 + i\cos1\sinh1}{\cos1\cosh1 - i\sin1\sinh1}.

Passo 5

Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de \cos(1+i) e usando identidades de dobro de ângulo, chega-se à forma geral
\tan(a+ib) =\frac{\sin(2a)+i\,\operatorname{sinh}(2b)}{\cos(2a)+\operatorname{cosh}(2b)}.

Passo 6

Substituindo a=1 e b=1 na fórmula geral, obtemos
\tan(1+i) =\frac{\sin(2)+i\,\operatorname{sinh}(2)}{\cos(2)+\operatorname{cosh}(2)} =\frac{\sin2}{\cos2+\cosh2} \;+\;i\,\frac{\sinh2}{\cos2+\cosh2}.

Resposta

\tan(1+i) =\frac{\sin2}{\cos2+\cosh2} \;+\;i\,\frac{\sinh2}{\cos2+\cosh2}.

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